Feladat: 16.73.
Mutassuk meg, hogy ha egy derékszögű hiperbola átmegy egy háromszög három csúcsán, akkor a magasságpontján is átmegy!
Megoldás: 16.73
a
16.72. feladat a) része szerint az
A,
B,
C pontokon átmenő hiperbolákon a
C-vel átellenes
C' pont az
ABC háromszög
k köréírt körének
AB egyenesre tükrözött
kC
képén van. Tekintsük még a
k kör
AC-re vonatkozó
kB
tükörképét is. Ismeretes (
6.36. feladat), hogy a háromszög
M magasságpontjának az oldalegyeneskre vonatkozó tükörképei illeszkednek a háromszög körülírt körére, azaz a körülírt körnek az oldalegyenesekre tükrözött képei, pl
kC
és
kB
, átmennek
M-en.
Ha
C'∈
kC
tetszőleges pont, akkor a
16.66. feladat eredménye szerint
C',
C és
A egyértelműen meghatározza a rajtuk átmenő és
CC' felezőpontjára szimmetrikus hiperbolát. Erre pontosan akkor illeszkedik
M (lásd a
16.70. feladatot), ha az
AMC háromszög körülírt köre - azaz
kB
- és az
AMC' háromszög körülírt köre - azaz
kC
- egymás tükörképei az
AM közös húrjuk egyenesére vonatkozóan. Ez teljesül, hiszen két azonos sugarú különböző kört a közös húrjuk egyenesére vonatkozó tükrözés egymásba képez és
kB
és
kC
azonos sugarúak és különbözők, hiszen ők a
k kör különböző tengelyre tükrözött képei.