Megoldás: 4.34
Nevezzük el az egyeneseket így:
Nevezzük meg a
metszéspontokat ciklikusan:
e1
∩
e2
=
P1
,
e2
∩
e3
=
P2
,
e3
∩
e4
=
P3
,
e4
∩
e1
=
P4
,
|
és irányítsuk az (
1)
egyeneseket úgy, hogy rajtuk rendre a
P4
P1
→
,
P1
P2
→
,
P2
P3
→
,
P3
P4
→
|
vektorok iránya legyen a pozitív
irány és legyen
P4
P1
=
a1
,
P1
P2
=
a2
,
P2
P3
=
a3
,
P3
P4
=
a4
.
|
| (2) |
Jelölje
α4
azt az irányított szöget, amellyel a
t4
irányított egyenes
a
t1
irányított egyenesbe forgatható, és ehhez hasonlóan
αi
(
i=1,2,3) azt a szöget, amely az
ei
irányított
egyenest az
ei+1
irányított egyenesbe forgatja. Ezek a szögek
csak
(mod
360∘
) vannak meghatározva. Az irányított
szögek összeadásának szabálya szerint:
α1
+
α2
+
α3
+
α4
=
t4
t1
^
+
t1
t2
^
+
t2
t3
^
+
t3
t4
^
≡
t4
t4
^
≡
0∘
(mod
360∘
).
|
| (3) |
Jelölje
t4
+
az
e4
,
e1
egyeneseknek azt a
szögfelezőjét, amelyre való tengelyes tükrözés a két egyenest
irányítástartó módon képezi egymásba (lásd az
1. ábrát) és legyen
t4
-
a másik
szögfelező. Az utóbbira való tükrözés is egymásba viszi az
e1
,
e4
egyeneseket, de megfordítja az irányítást. Legyen továbbá
ti
+
(
i=1,2,3) az
ei
,
ei+1
egyeneseknek az a
szögfelezője, amelyre való tengelyes tükrözés a két egyenest
irányítástartó módon képezi egymásba és legyen
ti
-
a másik
szögfelezőjük.
A probléma pontosítása: A
(
2) hosszúságok ismeretében
eldönthető-e, hogy a négy előjelet megfelelően megválasztva a
t1
±
,
t2
±
,
t3
±
,
t4
±
|
| (4) |
egyenesek egy közös ponton haladnak át? A
(
2) hosszakból hogyan lehet
kitalálni a megfelelő előjeleket?
Legyen
t1
t2
^
=
α1
,
t2
t3
^
=
α2
,
t3
t4
^
=
α3
,
t4
t1
^
=
α4
.
|
| (5) |
1. ábra
Mivel
t4
+
e4
^
≡
α4
2
(mod
180∘
)
és
e4
t1
+
^
=
α1
2
(mod
180∘
),
|
így
t4
+
t1
+
^
=
α4
+
α1
2
(mod
180∘
).
|
Ha hozzátesszük még, hogy
ti
+
ti
-
^
≡
ti
-
ti
+
^
≡
90∘
(mod
180∘
),
|
akkor kimondhatjuk az alábbi általános
összefüggéseket (
i=1,2,3,4, illetve
i=5 megfelel
i=1-nek):
ti
+
ti+1
+
^
≡
αi
+
αi+1
2
(mod
180∘
),
ti
+
ti+1
-
^
≡
αi
+
αi+1
2
+
90∘
(mod
180∘
)
|
ti
-
ti+1
-
^
≡
αi
+
αi+1
2
(mod
180∘
),
ti
-
ti+1
+
^
≡
αi
+
αi+1
2
+
90∘
(mod
180∘
).
|
Jelöljük most az egyenes jelével az arra az egyenesre vonatkozó
tükrözést is. Ismeretes, hogy az
a,
b egyenesekre vonatkozó
tükrözések
b∘a kompozíciója (előbb hajtjuk végre
a-t,
utána
b-t) az
2
ab
^
≡φ (mod
360∘
)
|
irányított szöggel való elforgatás
(
ab
^
még csak mod
180∘
értelmezett, a
forgásszög pedig már mod
360∘
), illetve eltolás, ha ez a
szög
0∘
(-val kongruens). Mindezek alapján az egymás
melletti szögek szögfelezőire vonatkozó tükrözések kompozíciója
jól leírható:
ti+1
+
∘
ti
+
=
Oi++,
αi
+
αi+1
,
ti+1
+
∘
ti
-
=
Oi+-,
αi
+
αi+1
+
90∘
,
|
ti+1
-
∘
ti
-
=
Oi-,
αi
+
αi+1
,
ti+1
+
∘
ti
-
=
Oi-+,
αi
+
αi+1
+
90∘
,
|
ahol
Oi±±,
φ
a
ti
±
,
ti+1
±
tengelyek
metszéspontja körüli
φ szögű forgatást jelenti, illetve a
megfelelő eltolást, ha a két tengely párhuzamos, azaz ha
φ≡0 (mod
360∘
).
Tekintsük most a
ψ=
t4
±
∘
t3
±
∘
t2
±
∘
t1
±
|
| (6) |
egybevágósági transzformációt a négy előjel tetszőleges választása
esetén. Az előző bekezdésben mondottak szerint
(
3) figyelembevételével
állítható, hogy
ψ eltolás (azaz összesen
0∘
-kal
forgat), ha az előjelek között páros sok ,,
+" van, illetve
középpontos tükrözés (azaz összesen
180∘
-kal forgat), ha
az előjelek között páratlan darab ,,
+" van.
A
ψ transzformációnak fix egyenese az
e1
egyenes, hiszen
t1
±
(
e1
)=
e2
,
t2
±
(
e2
)=
e3
,
t3
±
(
e3
)=
e4
,
t4
±
(
e4
)=
e1
.
|
Ezek szerint a
ψ transzformáció egy
e1
-gyel párhuzamos eltolás (esetleg
az identitás) vagy egy
e1
-re illeszkedő pontra vonatkozó
tükrözés.
Lemma Ha az előjelek megfelelő választása mellett a
(
4) egyenesek egy ponton
haladnak át, akkor az előjelek között páros sok ,,
+" van.
A lemma bizonyítása Ha a szögfelezők egy
O ponton
mennek át, akkor
O köré rajzolható egy olyan
k kör, amely mind
a négy oldalegyenest érinti. Jelöljük ezeket az érintési pontokat
T1
,
T2
,
T3
,
T4
-gyel (
Ti
∈
ei
). Mindegyik érintési
pontról eldönthető, hogy saját irányított egyenesének pozitív vagy
negatív felén van. (Pl.
e1
-en
P4
a
0 és tőle
P1
-felé
van a pozitív rész,
ei
-n
Pi-1
a
0 és tőle
Pi
-felé van
a pozitív rész.)
A
ti
+
szögfelezőre vonatkozó tükrözés felcseréli a szárak
pozitív és negatív félegyeneseit, a
ti
-
szögfelezőre vonatkozó
tükrözés pedig megtartja az előjeleket. Másrészt, az egymást
O-ban metsző szögfelezőkre vonatkozó tükrözés a két megfelelő
oldal érintési pontját egymásba tükrözi. A tükrözések
ψ
kompozíciója a
T1
érintési pontot önmagába képezi, tehát a négy
tükrözés között páros sok olyan lesz amely megfordítja az
előjelet. Ezzel a lemmát igazoltuk.
Következmény A (
4)
egyenesek pontosan akkor haladnak át egyetlen ponton, ha
(
6)-ben definiált
ψ
transzformáció az identitás, de a (megfelelő előjelekkel vett)
t2
±
∘
t1
±
transzformáció nem eltolás.
Valóban,
ψ csak úgy lehet identitás, ha páros sok pozitív
előjelet választunk és a négy szögfelező is csak így mehet át egy
ponton. Ebben az esetben a
t2
±
∘
t1
±
,
t4
±
∘
t3
±
transzformációk kompozíciója eltolás
így vagy mind a kettő eltolás (fent ezt zártuk ki) vagy azonos a
középpontjuk.
Állítás Pontosan akkor lehet
(
4)-ben a négy előjelet úgy
megválasztani, hogy a négy egyenes egy ponton haladjon át, ha az
alábbi kifejezésben megválaszthatók az előjelek úgy, hogy
teljesüljön az egyenlőség:
a1
±
a2
±
a3
±
a4
=0.
|
| (7) |