Megoldás: 6.21
1. megoldás.
Azt kell belátnunk, hogy
HA
NA
/
HA
B=
HA
B/
HA
A. Ha tekintjük a
HA
NA
B és
HA
BA háromszöget, ezeknek
HA
-nél fekvő szöge megegyezik, tehát elég azt belátnunk, hogy még egy megfelelő szög megegyezik a két háromszögben.
NA
BHA
∠=
CBHA
∠ szög megegyezik az ugyanezen a
CHA
íven nyugvó
CAHA
∠ szöggel, ami viszont megegyezik a
HA
AB∠ szöggel, mert
HA
A szögfelező.
Ezzel beláttuk, hogy a két háromszög hasonló, tehát a két arány valóban megegyezik.
2. megoldás.
Ha belátjuk, hogy az
ABNA
háromszög köré írt kört a
HA
B egyenes érinti, akkor a szelő-tétel érintős alakja(lásd a
11.16. feladatot) szerint kész vagyunk. Az érintéshez viszont elég belátni, hogy a
BANA
∠ kerületi szög megegyezik a
HA
BNA
∠ érintő szöggel. Ez viszont könnyen igazolható, hiszen mindkét szög egyenlő az
NA
AC∠ szöggel. Előbbi azért, mert
HA
NA felezi a
BAC∠ szöget, utóbbi azért, mert az eredeti háromszög köré írt körének
HA
C köríven nyugvó kerületi szögek egyenlők.