Feladat: 6.36.
Tükrözzük az
ABC háromszög magasságpontját a háromszög
a) oldalaira
b) oldalfelezőpontjaira!
Mutassuk meg, hogy a kapott pontok illeszkednek az
ABC háromszög körülírt körére!
Megoldás: 6.36
a)
Ha
M az
ABC háromszög magasságpontja és
MC
az
AB oldalra vonatkozó tükörképe, akkor (lásd az
1. ábrát)
a merőleges szárú szögek tétele szerint
AM\thinspaceBM∢≡CA\thinspaceCB∢ (mod
180∘
)
|
| (1) |
a tükrözés miatt pedig
AM\thinspaceBM∢≡-
AMC
\thinspace
BMC
∢≡
BMC
\thinspace
AMC
∢ (mod
180∘
).
|
| (2) |
1. ábra
A (
1), (
2) relációk összevetéséből látjuk, hogy az
AB szakasz egyenlő szögben látszik
C-ből és
MC
-ből, tehát a
A,
B,
C,
MC
pontok egy körön vannak. Hasonlóan igazolható, hogy
MB
és
MA
is illeszkedik az
ABC háromszög körülírt körére.
b)
Amikor az
AB oldal felezőpontjára tükrözünk, akkor az
A,
B pontok kicserélődnek, míg
M egy
M
'C
pontba képződik. A középpontos tükrözés megtartja az irányított szöget, tehát
AM\thinspaceBM∢≡BM
'C
\thinspaceAM
'C
∢ (mod
180∘
),
|
| (3) |
így a (
1) összefüggés figyelembevételével
CB\thinspaceCSA∢≡BM
'C
\thinspaceAM
'C
∢ (mod
180∘
),
|
| (4) |
tehát az
AB szakasz egyenlő szögben látszik
C-ből és
M
'C
-ből. Innen az a) részhez hasonlóan fejezhető be a bizonyítás.