Megoldás: 6.39
Jelölje a háromszög magasságpontját
M, egy azt tartalmazó tetszőleges egyenest
m, tükörképeiket az
AC,
BC,
BA oldalakra rendre
MB
,
MA
,
MC
illetve
mB
,
mA
,
mC
, magukat a tükrözéseket
tB
,
tA
,
tC
(lásd az
1. ábrát).
1. ábra
Mivel
tB
(
CMB
)=CM,
tA
(CM)=
CMA
,
így
tA
(
tB
(
CMB
))=
CMA
,
|
és mivel
tB
(
mB
)=m,
tA
(m)=
mA
,
így
tA
(
tB
(
mB
))=
mA
.
|
A
tA
∘
tB
transzformáció egy forgatás, így minden egyenes ugyanakkora szöggel fordul:
CMB
\thinspace
CMA
∢≡
mB
mA
∢,
|
azaz az
mB
∩
mA
=
DC
metszéspont az
MA
MB
szakasznak ugyanazon a látókörén van, mint a
C pont, tehát az
ABC háromszög körülírt körén. A
DC
pont tehát az
mA
egyenesnek (és egyúttal az
mB
egyenesnek) az
ABC háromszög körülírt körével való metszéspontja; az a metszéspont, amelyik
MA
-tól (illetve
MB
-től) különbözik, illetve csak akkor egyezik meg
MA
-val (
MB
-vel), ha
mA
(ill.
mB
) a körülírt kör
MA
-beli (
MB
-beli) érintője.
A
DC
pontot tehát már maga
mA
és a körülírt kör egyértelműen meghatározza, az
mA
,
mC
egyenesek
DB
metszéspontja ugyanez a pont lesz, azaz az
mA
,
mB
,
mC
egyenesek itt metszik egymást.