Feladat: 5.13.
Legyen adva a síkon az egymástól különböző
A és
B pont továbbá egy
γ∈(
0∘
,
180∘
) szög. Jelölje
O azt a pontot, amely körüli
2γ szögű elforgatás
A-t
B-be képezi és legyen
k az
O középpontú
A-t és
B-t tartalmazó kör.
a) Azon
C pontok mértani helye, amelyekből az
AB irányított szakasz
γ szögben látszik, tehát
ACB∢≡γ (mod
180∘
),
|
| (1) |
a
k kör
A-tól és
B-től különböző pontjainak halmaza.
b) Ha
A=C (ill.
B=C) esetén
AC (ill.
BC) egyenesen a
k kör
A-beli (ill.
B-beli) érintőjét értjük, akkor
a (
1) összefüggés ezekben az esetekben is teljesül.
Megoldás: 5.13
Legyen
C olyan,
A-tól és
B-től különböző pont, amelyre teljesül
a
ACB∢≡γ (mod
180∘
)
|
| (2) |
összefüggés és jelölje az
AC,
CB szakaszok felezőmerőlegeseit rendre
tB
és
tA
. A
tB
-re vonatkozó tükrözés
A-t
C-be, a
tA
-ra vonatkozó tükrözés pedig
C-t
B-be képezi, így a két tükrözés
φ=
tA
∘
tB
kompozíciója
A-t
B-be viszi.
A merőleges szárú szögek tétele szerint
tB
tA
∢≡γ (mod
180∘
),
|
| (3) |
tehát a
φ transzformáció a
tB
és
tA
metszéspontja körüli
2γ szögű forgatás. Egyetlen olyan
2γ szögű forgatás van, amely
A-t
B-be viszi és az az
O középpontú, tehát
O=
tB
∩
tA
és
d(A,O)=d(
tB
(A),
tB
(O))=d(C,O), azaz
C∈k.
Másrészt, ha
C∈k tetszőleges pont, akkor jelölje az
OA,
OC irányított egyenesek illetve az
OC,
OB irányított egyenesek szögfelezőjét
tB
illetve
tA
. E két tengelyre vonatkozó tükrözés
φ=
tA
∘
tB
kompozíciója
A-t
B-be viszi. A
φ transzformáció egy
O-körüli forgatás és az
O-körüli
2γ szögű forgatás is
B-be képezi
A-t, így
φ csak ez a forgatás lehet. Következésképpen teljesül a
(
3) összefüggés. A
tB
,
tA
szögfelezők egyben az
AC,
CB szakaszok felezőmerőlegesei is, illetve
A=C esetén (
B=C esetén)
tB
(
tA
) az
OA sugár (
OB sugár) egyenesével egyezik meg, így alkalmazhatjuk a
a merőleges szárú szögek tételét, azaz fennáll a (
1) reláció is, ha
A=C (illetve
B=C) esetén
AC-n (ill.
BC-n) a sugárra merőleges egyenest, az érintőt értjük.