Megoldás: 3.57
Ha
P' illetve
P" a
P pontnak az
a szár egyenesére illetve a
b szár egyenesére vonatkozó tükörképe, akkor a
3.19. feladat megoldása szerint
OP'=OP"=OP és
P'OP"∢
=2γ, ahol
γ az
a,
b szárak szöge.
Két esetet különböztetünk meg aszerint, hogy
γ<
90∘
vagy
γ≥
90∘
(lásd az
1. ábrát).
1. ábra
Az első esetben a
P pontot is tartalmazó
P'OP" szögtartomány konvex, a
P'P" szakasz elmetszi az
a,
b szárakat. Legyenek a metszéspontok
A' és
B' (lásd az
1. ábrát). Megmutatjuk, hogy
PA'B'P a legrövidebbb töröttvonal.
Legyen
PABP egy tetszőleges másik töröttvonal. A tükrözés miatt
PA=P'A,
PB=P"B,
PA'=P'A',
PB'=P"B', így
PA+AB+BP=P'A+AB+BP', míg
PA'+A'B'+B'P=P'A'+A'B'+B'P"=P'P", tehát a
PABP töröttvonal egyenlő hosszúságú egy valahol biztosan megtörő
P' és
P" közti töröttvonallal, míg
PA'B'P a
P'P" szakasszal egyenlő hosszú. Ebben az eetben tehát megleltük a legrövidebb töröttvonalat.
Most vizsgáljuk a
γ≥
90∘
esetet. Ilyenkor az
A'=B'=O pontokhoz tartozó
PA'B'P azaz
POOP elfajult töröttvonal adja a minimumot.
Tekintsük most a
P'P" szakasz felezőmerőlegesét. Állítjuk, hogy ez az
O ponttól a
P'P" szakasz felezőpontjával ellenkező irányban kettévágja az adott szögtartományt. Legyen
P'OP∠=2α,
POP"∠=2β és állítsunk az
a szárral
β szöget bezáró szögszárat
O-ból. Ugyanezt a szögszárat kapjuk, ha az ellenkező irányban a
b szárral
α szöget bezáró szögszárat állítunk
O-ból, hiszen
(α+β)+(α+β)=2α+2β. Így ez a szögszár épp a tekintettbe vett felezőmerőlegesnek az
a,
b szárak közti szögtartományba eső része. Azért van a felezőmerőlegesen, mert
O is azon van és az
OP',
OP" egyenesekkel azonos szöget zár be, és azért van a szögtartományban, mert annak határaitól az
a,
b szárak
α+β szögétől kisebb szöget mértünk fel, mikor a szögekkel képeztük.
Tekintsünk egy tetszőleges
PABP töröttvonalat. Ha
A és
B egyike megegyezik
Oval, a másik különbözik tőle, akkor könnyen igazolható, hogy a
POP töröttvonal rövidebb nála. A
P'P" szakasz felezőmerőlegesének egyik oldalán van az
a, másikon a
b szögszár, így ha
A és
B is különbözik
O-tól, akkor a felezőmerőleges egy belső
C pontjában metszi el az
AB szakaszt. Ekkor
PA+AB+BP=P'A+AC+CB+BP">P'C+CP">P'O+OP"=PO+OP,
|
ahol az első egyenlőtlenség az
P'AC,
P"BC háromszögekre vonakozó háromszögegyenlőtlenség miatt áll fenn, a második pedig a
9.26. feladat állítása miatt.