Megoldás: 3.47
1. megoldás.
Toljuk el az
A,
T pontokat a körök középpontja által meghatározott
OA
OB
→
vektorral. Ennél a
kA
adott kör képe a másik adott kör.
kB
, az
A∈
KA
pont képe legyen
A'∈
KB
, a
T∈
KA
érintési pont képe
T'∈
KB
(lásd az
1. ábrát).
1. ábra
Mivel a
TT' szakasz a
kB
kör átmérője, így
TA'T'∠=
90∘
. Az
AT szakasz párhuzamos a saját eltoltjával,
A'T'-vel, így
ATA'∠=
90∘
, azaz
B=A'. Az
AB=AA' szakasz hossza az eltolás vektorával azonos hosszúságú, azaz
2R-rel egyenlő.
2. megoldás.
Jelölje az
A pont
T-re középpontosan tükrözött képét
C. A
C pont a
kB
körön van, mert ennél a tükrözésnél a
kA
kör képe az azt
T-ben érintő
kB
kör (lásd az
1. ábrát). Mivel
90∘
=ATB∠=CTB∠, így Thalesz tételének megfordítása szerint a
CB szakasz a
kB
kör átmérője.
1. ábra
Az
ACB háromszögben
TOB
középvonal, így
AB=2
TOB
=2R.