Feladat: 3.37.
Adott egy paralelogramma.
a) Melyek azok az egyenesek, amelyek a paralelogrammát két egybevágó négyszögre vágják?
b) Milyen egybevágósági transzformáció viszi az egyik részt a másikba?
Megoldás: 3.37
1. megoldás.
Dr. Agy megoldása
Akkor jön létre két négyszög, ha az egyenes két szemköztes oldalt metsz. Az ilyen egyenes mindig két egybevágó négyszögre vágja a paralelogrammát, hiszen e két négyszög oldalai párhuzamosak, szögei egyenlők és még két-két egyenlő hosszú oldaluk is van, így az egybevágóságok alapeseti szerint egybevágók.
Megjegyzés Természetesen Dr. Agy megoldása hibás.Az egybevágóságoknak nincs ilyen alapesete, az alapesetek csak háromszögekre vonatkoznak.
2. megoldás.
A paralelogramma középpontján átmenő egyenes két egybevágó négyszögre vágja a paralelogrammát, mert az erre a pontra vonatkozó középpontos tükrözés kicseréli a két négyszöget. Valóban, paralelogramma középpontjára való tükrözés a rajta átmenő egyenest és a paralelogrammát is önmagára képezi, de a ez egyenes két oldalán található félsíkokat kicseréli egymással, így a négyszögeket egymásba viszi.
Tekintsünk egy - a paralelogramma
O középpontját nem tartalmazó -
e egyenest, és annak
O ra középpontosan tükrözött
e' képét.
A paralelogrammából
e által levágott
N1
,
N2
négyszögek közül az
O-t nem tartalmazó
N1
négyszög egybevágó az
e' által levágott
O-t nem tartalmazó
N
'1
négyszöggel, hiszen ez a két rész középpontosan szimmetrikus
O-ra. Így
N1
nem lehet egybevágó az
N
'1
-etvalódi módon tartalmazó, így annál nagyobb területű
N2
-vel. Tehát a középpontot nem tartalmazó egyenes nem vágja egybevágó részekre a paralelogrammát.