Feladat: 9.20.
Sugáregyenlőtlenség
Bizonyítsuk be, hogy a háromszög beírt körének sugara nem nagyobb a köréírt kör sugarának felénél.
Milyen háromszögekben áll fenn egyenlőség?
Megoldás: 9.20
1. megoldás.
Tekintsük a háromszög Feuerbach-körét és húzzunk hozzá mindhárom oldallal párhuzamos érintőt úgy, hogy az egész háromszög az érintő egyik oldalán legyen. Így egy, az eredetihez hasonló háromszöget kapunk, amelynek beírt köre az eredeti háromszög Feuerbach-köre. Az új háromszög teljesen tartalmazza az eredetit és csak akkor esik egybe vele, ha a Feuerbach-kör sehol ,,nem lóg ki" az eredeti háromszögből, vagyis mindhárom oldal felezőpontja azonos a szemközti csúcsból induló magasság talppontjával, vagyis mindhárom oldalfelező merőleges egyben magasság is. Ez pedig csak a szabályos háromszögnél teljesül. Azt kaptuk, hogy a beírt kör sugara a szabályos háromszög esetén egyenlő a Feuerbach-kör sugarával, minden más esetben kisebb annál.
Ismeretes, hogy a Feuerbach-kör sugara fele a köréírt kör sugarának (l. feladatot)
tehát azt kaptuk, hogy a beírt kör sugara a szabályos háromszög esetén egyenlő a köréírt kör sugarának felével, minden más esetben kisebb annál.
2. megoldás.
A feladat állítása következik abból az ismert összefüggésből, hogy a beírt kör kozéppontjának és a köréírt kör középpontjának
d távolságára igaz a
d2
=
R2
-2Rr, ahol
R a köréírt kör sugara,
r a beírt köré (lásd a
11.31. feladatot).