Feladat: 9.17.
Igazoljuk, hogy az
ABC háromszögben az
A-hoz tartozó súlyvonal hossza legfeljebb
R+
d1
, ahol
R a köréírt kör sugara,
d1
a köréírt kör középpontjának távolsága a
BC oldaltól.
Mikor áll fenn egyenlőség?
Megoldás: 9.17
Legyen
K a köréírt kör középpontja,
FBC
a
BC oldal felezőpontja. A feladat állítása azt mondja, hogy az
AKFBC
háromszögben
AFBC
-re teljesül a háromszögegyenlőtlenség.
Egyenlőség akkor van, ha
FBC
az
AK egyenesen van. Ez két esetben áll fenn:
- ha a három pont különböző, és egy egyenesbe esik, ez azt jelenti, hogy a háromszög egyenlőszárú:
AB=AC;
- ha
FBC
egybeesik
K-val, ami azt jelenti, hogy
A-nál derékszög van.
(A három pont közül másik kettő nem eshet egybe.)