Feladat: 16.25.
Az
ABC háromszög köréírt körének
B pontban és
C pontban húzott érintője az
S pontban metszik egymást. Bizonyítandó, hogy ez az
S pont rajta van az
A-ból induló szimediánon.
Megoldás: 16.25
Megmutatjuk, hogy az
S pont izogonális konjugáltja az az
A' pont, amelyet úgy kapunk, hogy az
A csúcsot tükrözzük a szemközti oldal középpontjára (tehát az az
A' pont, amelyre
ABA'C négyszög csúcsai ebben a sorrendben paralelogrammát alkotnak). Ez egyenértékű a feladat állításával, hiszen az
A' pont rajta van az
A-ból induló súlyvonalon, így ennek izogonális konjugáltja, az
S pont rajta van az
A-ból induló szimediánon.
Legyen az
ABC háromszög köréírt kör középpontja
K. Tudjuk, hogy a
KB sugáregyenesnek az
B-ből induló szögfelezőre vonatkozó tükörképe az
B-ből induló magasság. A
B pontban húzott érintő merőleges a
KB sugáregyenesre, tehát a
B-ből induló szögfelezőre való tükörképe merőleges a magasságra, azaz párhuzamos a szemközti
AC oldallal és természetesen átmegy
A-n. Hasonlóan kapjuk, hogy a
C pontban húzott érintőnek párhuzamos az
AB oldallal és szintén átmegy
A-n. E két párhuzamos metszéspontja pedig valóban az
A' pont.
Ezt akartuk bizonyítani.