Feladat: 16.31.
Bizonyítsuk be, hogy a háromszög Lemoine-Grebe pontjának az oldalaktól vett távolságai úgy aránylanak egymáshoz, mint a megfelelő oldalak. Vagyis ha
da
és
db
jelöli az
a illetve a
b oldaltól vett távolságot, akkor
da
:
db
=a:b.
Megoldás: 16.31
Ismét a
16.30. feladat jelöléseit használva az
L pont a középpontja a
ZYWX téglalapnak, így az
L pontnak a
CB=a oldaltól vett
da
távolsága éppen a fele a
ZYWX téglalap
YW oldalának. Ugyanígy az
AC oldaltól
db
távolsága egyenlő az
UY szakasz felével. Innen az
WUY háromszög és az
ABC háromszög hasonlósága alapján (l. a
16.30. feladatot) következik, hogy
da
:
db
=a:b.