Feladat: 16.34.
Bizonyítsuk be, hogy egy tetszőleges
P pontnak az
ABC háromszög oldalaitól vett távolságai négyzetösszege pontosan akkor minimális, ha e távolságok aránya megegyezik az oldalak arányával.
Következik-e ebből, hogy e távolságok négyzetösszege a háromszög Lemoine-Grebe pontjára minimális?
Megoldás: 16.34
Tekintsük az
APB,
BPC,
CPA háromszögeket! Ezek egyrétűen lefedik a háromszög területét. (Ha
P külső pont, akkor előjeles területekkel kell számolnunk.) Másrészt területük kétszerese rendre
c·
dc
,
a·
da
és
b·
db
, ahol
da
,
db
,
dc
jelöli a megfelelő oldaltól vett távolságot. Azt kapjuk, hogy
2T=
ada
+
bdb
+
cdc
.
A Cauchy-Schwartz-Bunyakovszkij egyenlőtlenség szerint ez utóbbi összeg
≤
a2
+
b2
+
c2
·
da
2
+
db
2
+
dc
2
. Tehát a távolságok négyzetösszege mindig
≥2T/
a2
+
b2
+
c2
, ami független a
P pont elhelyezkedésétől. Egyenlőség akkor és csak akkor van, ha
da
:
db
:
dc
=a:b:c.
A Lemoine-Grebe pontra ez teljesül, de nem tudjuk, hogy nem teljesül-e más pontra is. Erre majd a
16.49. feladat ad választ.