Feladat: 16.56.
Egy
PQR háromszöget akkor nevezünk az
ABC háromszögbe írt háromszögnek, ha a
P,
Q,
R pont rendre a
BC,
CA,
AB oldalra illeszkedik.
Legyen
ABC hegyesszögű háromszög és
PQR egy olyan, a háromszögbe írt háromszög, amely oldalainak négyzetösszege minimális. Bizonyítsuk be, hogy ekkor a
PQR háromszög a Lemoine-Grebe pont talpponti háromszöge.
Megjegyzés. További, a Lemoine-Grebe pont tulajdonságaira vonatkozó tételeket találunk Surányi László
A háromszög kevésbé ismert nevezetes pontjairól c. cikkében[
150].
Megoldás: 16.56
Rögzítsük például a
PQR háromszög
Q és
R pontját és mozgassuk a
P pontot a
BC oldalon. A
PQR feltételezett minimális tulajdonsága szerint a
PQ2
+
PR2
négyzetösszeg nő. . feladat szerint ebből az következik, hogy a
P pont a
Q'R' szakasz felezőpontja, ahol
Q' és
R' a
Q illetve az
R pont merőleges vetülete a
BC oldalon. Állítsunk merőlegest a
P pontban a
BC oldalra és messe ez a merőleges a
QR oldalt a
T pontban. A
PT szakasz a
QQ'R'R derékszögű trapéz középvonala, tehát
T felezi a
QR oldalt. Vagyis
PT a
PQR háromszög
P-hez tartozó súlyvonala.
Ugyanígy kapjuk (,,a demokrácia szabályai szerint"), hogy a
Q-ban az
AC-re állított merőleges a
Q-hoz tartozó súlyvonal és
R-ben az
AB-re állított merőleges az
R-hez tartozó súlyvonal. A három súlyvonal
S közös pontja tehát e merőlegesek közös pontja. Vagyis a
PQR háromszög az
S súlypontjának talpponti háromszöge. A
16.39. feladatban láttuk, hogy ebből következik, hogy
S az
ABC háromszög Lemoine-Grebe pontja, a
PQR háromszög a Lemoine-Grebe pontjának talpponti háromszöge, ahogy a feladat állítja.