Feladat: 1.4. [
115]
Egyenlő szárú-e minden olyan háromszög, melyben a beírt kör középpontja egyenlő távolságra van
a) két csúcstól?
b) két oldal felezőpontjától?
Megoldás: 1.4
a) Igen.
Ha a beírt kör
I középpontja egyenlő távolságra van az
A,
B csúcsoktól, akkor
IAB egyenlő szárú háromszög, amely szimmetrikus az
AB szakasz
t felezőmerőlegesére. A
CA,
CB oldalak a beírt kört érintik és különböznek az
AB oldaltól. Az
A és a
B csúcson át
AB-n kívül csak egy-egy további érintő húzható a beírt körhöz, és ez az
AB egyenes
AI-re illetve
BI-re vonatkozó tükörképe. Ezek egymás
t-re vonatkozó tükörképei, hiszen
AB önmaga tükörképe, míg
AI és
BI egymás tükörképei. Így
ABC is szimmetrikus
t-re, azaz egyenlő szárú.
b) Nem.
Jelölje az
AC,
BC oldalak felezőpointját
FAC
illetve
FBC
, míg a beírt kör érintési pontját ezeken az oldalakon
TAC
és
TBC
.
Az
ITAC
FAC
,
ITBC
FBC
háromszögek derékszögűek és
ITAC
,
ITBC
oldalaik egyenlőek (a beírt kör sugara), így az
IFAC
,
IFBC
szakaszok pontosan akkor egyenlőek, ha a
TAC
FAC
,
TBC
FBC
szakaszok egyforma hosszúak.
Ismeretes, hogy (a szokásos jelölésekkel)
CTAC
=
CTBC
=
a+b-c
2
,
CFAC
=
b
2
,
CFBC
=
a
2
,
|
azaz
TAC
FAC
=|
a-c
2
|,
TBC
FBC
=|
b-c
2
|.
|
A két vizsgált szakasz tehát pontosan akkor egyenlő, ha (lásd az
1. ábrát)
a-c
2
=
b-c
2
, azaz ha
a=b, vagy ha
-
a-c
2
=
b-c
2
, azaz ha
c=
a+b
2
.
Az utóbbi esetre példa az a nevezetes háromszög, amelynek oldalai
3,
4 és
5 egység hosszúak.
1. ábra