Feladat: 16.60.
Adott az
e egyenes és rajta négy pont:
EA
,
EB
,
EC
és
ED
.
a) A négy pont mely elhelyezkedése esetén létezik a síkon olyan
ABCD négyzet, amely csúcsainak
e egyenesre való merőleges vetületei a megadott pontok (a betűzésnek megfelelően)?
b) Fejezzük ki a négyzet területét a megadott pontok közti távolságok függvényeként!
Megoldás: 16.60
A négyzet
AC és
BD átlói a négyzet
O középpontjában felezve metszik egymást. A vetítésnél bármely szakasz felezőpontjának képe a végpontok képének felezőpontja. Az
O pont
e egyenesre vonatkozó
EO
merőleges vetülete tehát az
EA
EC
szakasznak és az
EB
ED
szakasznak is felezőpontja.
Csak akkor létezhet megfelelő
ABCD négyzet, ha ez a két felezőpont egybeesik.
Állítjuk, hogy ez elégséges is a négyzet létezéséhez. Tekintsük az
e egyenesre merőleges
f egyenest.
Az
AC szakasz
e-re vonatkozó
EA
EC
merőleges vetülete éppen akkora, mint a négyzet
AC-re merőleges és
AC-vel egyenlő hosszúságú
BD átlójának
f-re vonatkozó merőleges vetülete.
A
BD átló
e-re és
f-re vonatkozó merőleges vetületét is ismerjük, tehát
BD2
=
EA
EC
2
+
EB
ED
2
,
|
a négyzet területe pedig ennek az értéknek a fele.
Létezik is a megfelelő négyzet. A fent szerkesztett
EO
pont lehet egy ilyen négyzet csúcsa. Állítsunk
e-re merőlegeseket az
EA
,
EB
,
EC
,
ED
pontokban és
EA
-tól és
EC
-től mérjük fel ezekre az egyik illetve a másik irányban az
EO
EB
=
EO
ED
távolság felét, míg
EB
-től és
ED
-től egymással ellenkező irányokban az
EO
EA
=
EO
EC
távolság felét. Az így kapott négy pont egy olyan négyszög négy csúcsa, amelynek átlói merőlegesek, egyenlőek és felezik egymást, tehát ez egy négyzet. A szerkesztés révén a négyzet csúcsainak vetületei az
e-n előre megadott pontok.