Megoldás: 15.8
a) A két létrejövő metszésvonal egy-egy egyenes
(
T2. axióma). Ez a két egyenes egy síkban van és nincs
közös pontjuk, hiszen olyan síkokban vannak, amelyeknek nincs
közös pontjuk. Tehát a két egyenes párhuzamos.
b) Tekintsük a
Σ síkot és a rá nem illeszkedő
P
pontot. Vegyük fel a
Σ síkban az egy egyenesre nem
illeszkedő
A,
B,
C pontokat (
ntS. axióma), és
vegyük fel az
A,
B pontokon átmenő
e, illetve az
A és
C
pontokon átmenő
f egyenest (
S1. axióma). Legyen a
P-n
átmenő
e-vel ill.
f-fel párhuzamos egyenes
e', ill.
f' (
S2. axióma). Ha ez a két egyenes megegyezne
egymással, akkor az
A ponton átmenő
e és
f egyenes is
párhuzamos lenne vele, ami ellentmond az
S2. axiómának.
Az
e',
f' egyenesek tehát különböznek.
Pontosan egy olyan sík van, amely az
e' és az
f'
egyenest is tartalmazza (
15.3.
feladat), jelölje ezt
Σ'.
Állítjuk, hogy ha egy sík párhuzamos a
Σ síkkal, akkor az
tartalmazza az
e',
f' egyeneseket, tehát a
párhuzamos sík csak
Σ' lehet. Valóban, tekintsünk egy
tetszőleges olyan síkot, jelben
Π, amely párhuzamos
Σ-val és átmegy
P-n. Tekintsük még az
e egyenes és a
P pont által meghatározott
Πe,P
síkot. Erre a síkra
alkalmazható az a) feladatrész állítása, azaz egy
P-n átmenő
e-vel párhuzamos egyenesben metszi
Π-t. Pontosan egy ilyen
egyenes van (
S2. axióma), nevezetesen
e', tehát
e'∈Π. Hasonlóan igazolható az is, hogy
f'∈Π, tehát csak a
Σ' sík lehet a
P-n átmenő
Σ-val párhuzamos sík.
Igazolnunk kell még, hogy
Σ' párhuzamos
Σ-val.
Tegyük fel, hogy nem párhuzamosak. Metszetük így a
T2.
axióma szerint egy
g egyenes. Az
e' egyenes egy síkban
(
Σ') van
g-vel, így vagy metszi vagy párhuzamos
vele. Tegyük fel, hogy metszi, mondjuk az
E pontban. Az
E pont
nincs rajta az
e egyenesen, hiszen
e-nek és
e'-nek
nincs közös pontja. Így pontosan egy olyan sík van, amely az
e
egyenest és az
E pontot is tartalmazza
(
15.3. feladat b. része). Ez a sík
tehát
Σ, ebben kell tehát lennie az
E-n átmenő
e-vel
párhuzamos egyetlen egyenesnek (
S2. axióma és a
párhuzamosság definíciója), az
e' egyenesnek is, így a
P∈e' pontnak is. Ez ellentmondás, hiszen
P∉Σ. Hasonlóan zárható ki az is, hogy az
f' egyenes
messe
g-t. Ha viszont
e' és
f' is párhuzamos
g-vel, akkor a
P ponton át két párhuzamos is húzható vele, ami
ellentmond az
S2. axiómának. Tehát
Σ' valóban
párhuzamos
Σ-val.
c) Ha
R∈Σ' a
P ponttól különböző pont,
akkor az
R,P,A pontok egyértelműen meghatároznak egy
ΠR
síkot (
T1. axióma), amely az a) rész állítása szerint egy
olyan egyenesben metszi
Σ-t, amely párhuzamos a
PR
egyenessel. A
Σ' sík minden pontján átmegy egy olyan
egyenes, amely párhuzamos a
Σ sík
A ponton átmenő
megfelelő egyenesével.