Feladat: 17.62.
* Adott egy kör és benne az egymást nem metsző
AB és
CD húr. Az utóbbit nem tartalmazó
AB köríven fut a
P pont,
CP és
AB metszéspontja
X,
DP és
AB metszéspontja
Y. Szerkesszük meg
P-nek azt a helyzetét, ahol az
XY szakasz hossza maximális.
Megoldás: 17.62
Legyen
T az a pont a
CD egyenes
C-n túli meghosszabbításán, amelyre
CTD∠=CPD∠, és ugyanígy legyen
U az a pont a
D-n túli meghosszabításán, amelyre
DTC∠=DPC∠. A kerületi szögek tétele szerint e két pont helyzete független
P helyzetétől. Másrészt a
TCX,
PYX és
UYD háromszögek hasonlók. Ebből következik, hogy
TC:TX(=PY:YX)=UY:UD, azaz
TX·UY=TC·UD. Utóbbi állandó. A feladat azt kérdezi, mikor lesz
XY maximális, ami ekvivalens azzal a kérdéssel, hogy a
TX+YU összeg mikor minimális. Mivel a szorzatuk állandó, az összegük akkor minimális, amikor mindkettő egyenlő a szorzat négyzetgyökével. Ez pedig könnyen szerkeszthető, így
T és
U is szerkeszthető. A gondolatmenet visszafordításából következik, hogy
CX és
DY egyenes a körön fog találkozni és ez lesz a maximális helyzet.