Megoldás: 3.16
Tekintsük az
AA'=a egyenest. Az
A-t és
A'-t kicserélő
O inverzió centruma az inverzió definíciója szerint az
AA' egyenesen van és különbözik az
A,
A' pontoktól. Megfordítva, ha
O az
a egyenes
A-tól és
A'-től különböző tetszőleges pontja, akkor az
O centrumú
OA·OA' paraméterű inverzió kicseréli egymással az
A,
A' pontokat (ha
O az
AA' szakasz belső pontja, akkor az
OA·OA' szorzat értékét tekintsük negatívnak).
A továbbiakban két esetet különböztetünk meg aszerint, hogy
B illeszkedik-e
a-ra vagy nem illeszkedik rá.
Ha
B nem illeszkedik
a-ra, akkor tekintsük az
AA'B háromszög
k körülírt körét.
A
3.15 feladat eredménye szerint az
A-t és
A' egymással kicserélő inverzió önmagára képezi a
k kört, tehát
B-t a
k valamely
A-tól és
A'-től különböző pontjába viszi. Másrészt ha
B' a
k kör tetszőleges
A-től és
A'-től különböző pontja és a
BB'=b egyenes - illetve
B=B' esetén a
k kör
B-beli
b érintője - az
O pontban metszi
a-t, akkor
O különbözik az
A,
A' pontoktól és az
O centrumú,
λ=OA·OA' paraméterű inverzió
k-t önmagára,
B-t
B'-re képezi. Előfordulhat, hogy az
a,
b egyenesek párhuzamosak egymással, ekkor nincs inverzió, szerepét az
AA' szakasz
t felezőmerőlegesére való tengelyes tükrözés veszi át, az cseréli ki egymással
A-t és
A'-t, illetve
B-t és
B'-t. A keresett mértani hely tehát a
k kör kivéve három pontot:
A-t,
A'-t és
B
t-re vonatkozó tükörképét.
Ha
B illeszkedik
a-ra, akkor tekintsük ezt az egyenest számegyenesnek. Az
A,
A',
B pontokhoz illetve a keresett
B' ponthoz rendelt valós számok legyenek rendre
α,
α',
β illetve
β'. Az
O pont akkor és csakis akkor megfelelő inverziós centrum, ha az
O-nak megfeleltetett
x valós számra
(α-x)(α'-x)=(β-x)(β'-x)≠0.
|
| (1) |
A zárójelek felbontása után
x-re lineáris egyenletet kapunk, mely rendezéssel a
alakra hozható. A (
2) reláció jobb oldalán az
x együtthatója pontosan akkor zérus, ha
α+α'
2
=
β+β'
2
, azaz ha az
AA',
BB' szakaszok felezőpontja egybeesik. Ebben az esetben a
λ=-1 arányhoz tartozó speciális inverzióról, a középpontos tükrözésről van szó, de alkalmas tengelyes tükrözés is kicseréli
A-t
A'-vel és
B-t
B'-vel.
Minden más esetben a (
2) egyenletből egyértelműen meghatározható
x értéke és az (
1) szorzat megadja az inverzió paraméterét. Ez csak akkor lehet zérus, ha az (
1) reláció egyszerre mindkét oldalán nulla áll, tehát csak akkor, ha az
A,
A' pontok egyike megegyezik a
B,
B' pontok egyikével. Ilyenkor tényleg nincs megfelelő inverzió, vagy triviális az állítás (
A=B és
A'=B' ill.
A=B' és
A'=B).
Tehát
B' az
a egyenes tetszőleges pontja lehet, kivéve három pontot:
A-t és
A'-t, valamint a
B pont
AA' felezőpontjára vonatkozó tükörképét.