Megoldás: 3.27
Általában
8 olyan kögyenes van, amely érint három olyan kört, amelyek közül semelyik kettő sem érinti egymást. Ha ez a három kör kölcsönösen egymás külsejében van, akkor ez a
8 kör így írható le:
(i)
1 olyan kör van, amely mindegyik adott kör külsejében van és mindegyik adott kör is az ő külsejében van (nevezetes, hogy az adott esetben ez épp a háromszög Feuerbach köre);
(ii)
3 olyan kör van, amely az adott körök közül egyet a belsejében, kettőt pedig a külsejében tartalmaz. Ezeket keressük;
(iii)
3 olyan kör van, amely az adott körök közül kettőt a belsejében, egyet pedig a külsejében tartalmaz. Most ezek - vagy az előbbiek, ez még nem látszik - három egyenessé, az adott háromszög oldalegyeneseivé fajul;
(iv)
1 olyan kör van, amely mindegyik adott kört a belsejében tartalmazza.
Van egy olyan
h kör, amely merőleges a háromszög három hozzáírt körére. A
3.26. feladatban láttuk, hogy ennek középpontja az adott
ABC háromszög
FA
FB
FC
középháromszöge beírt körének
H középpontja. A
h körre vonatkozó inverzió önmagára képezi az
ABC háromszög hozzáírt köreit, így egymásra képezi az azokat érintő (i)-(iv) kögyeneseket.
A
BC oldalegyenes egyik oldalán van az
AB és a
BC oldalhoz hozzáírt
iC
és
iB
kör és itt van a teljes
ABC háromszög is a
H ponttal együtt, míg a
BC egyenes másik oldalán van a
BC oldalhoz hozzáírt
iA
kör. A
h-ra vonatkozó inverzió ezért a
BC egyenest egy olyan
mA
körbe képezi, amely belsejében tartalmazza az
iA
kört és a külsejében az
iB
,
iC
köröket. Ráadásul, ez az
mA
kör, lévén egy egyenes inverz képe, átmegy a
h inverzió
H centrumán is. Ugyanígy kaphatók a keresett
mB
,
mC
körök a háromszög
CA,
AB egyeneseinek
h inverziónál származó képeiként és ugyanezért ők is mind átmennek az inverzió
H centrumán.
Ezzel a feladat állítását igazoltuk.