Megoldás: 3.25
a) Tegyük fel, hogy az
O centrumú
λ paraméter?
i inverzió egymásba képezi az
K,
L köröket. Ez az
O-n átmenő tetszőleges
e egyenesen azt jelenti, hogy ha
e a
K kört az
A1
,
A2
, az
L kört a
B1
,
B2
pontokban metszi, akkor
i az
A1
,
A2
pontokat a
B1
,
B2
pontokba képezi.
Alább igazolni fogjuk, hogy
O a
K,
L körök hasonlósági pontja. Ehhez azt fogjuk felhasználni, hogy az inverzió és a középpontos nagyítás is önmagára képezi az
e egyenest, és mindkét transzformáció szögtartó, de míg a nagyítás irányítástartó, addig az inverzió megfordítja az irányítást. (Lásd az
1. ábrát)
1. ábra
Tegyük fel, hogy
i(
A1
)=
B2
és
i(
A2
)=
B1
azaz
OA1
·
OB2
=
OA2
·
OB1
=λ.
|
| (1) |
Ebből
tehát egy megfelelő arányú,
O centrumú
χ középpontos nagyítás az
A1
pontot
B1
-be, egyúttal
A2
-t
B2
-be viszi.
Jelölje a
K kör
A1
-, ill.
A2
-beli érintőjét
k1
ill.
k2
, az
L kör érintőit
B1
-ben ill.
B2
-ben
l1
ill.
l2
. Az egyenes és a kör metszési tulajdonsága szerint irányított szögekkel számolva
ek1
∢≡-
ek2
∢ (mod
180circ
);
el1
∢≡-
el2
∢ (mod
180circ
).
|
| (3) |
Az inverzió megtartja a szöget, de az irányítását megfordítja, így
ek1
∢≡-
el2
∢ (mod
180circ
);
ek2
∢≡-
el1
∢ (mod
180circ
).
|
| (4) |
A (
3), (
4) relációk összevetéséből következik, hogy
ek1
∢≡
el1
∢ (mod
180circ
);
ek2
∢≡
el2
∢ (mod
180circ
).
|
| (5) |
A
χ középpontos nagyítás a
K kör
A1
,
A2
pontjait az
L kör
B1
,
B2
pontjaiba képezi és a
K-kör
χ(K) képének érintői
B1
-ben és
B2
-ben megegyeznek az
L kör érintőivel. Ebből következik, hogy
χ(K)=L, azaz
O a
K,
L körök hasonlósági pontja.
Megfordítva, ha
O a
K,
L körök hasonlósági pontja, és a hasonlóság arány
μ, azaz az
O-t tartalmazó
e egyenes és a
K,
L körök
A1
,
A2
∈K,
B1
,
B2
∈L metszéspontjaira
OB1
OA1
=
OB2
OA2
=μ, akkor
OA2
·
OB1
=
OA1
·
OB2
=μ
OA1
·
OA2
,
|
tehát ha
λ az
O pont
K körre vonatkozó hatványának
μ-szöröse, akkor az
O centrumú
λ arányú inverzió felcseréli egymással a
K,
L köröket.
Ha a
K,
L körök nem koncentrikusak és nem is azonos sugarúak, akkor két különböző pontból nagyítható
K az
L-be, az egyik nagyítás aránya (külső hasonlósági pont) pozitív a másik aránya negatív (belső hasonlósági pont). Az előbbihez tartozó inverzió egy körre vonatkozó inverzió (
λ>0), a másik inverziónak nincsenek fixpontjai
λ<0.
Ha a
K,
L körök koncentrikusak, akkor közös középpontjukból kétféleképpen invertálhatók egymásba: az egyik paramétere pozitív, a másiké negatív.
Ha a
K,
L körök nem koncentrikusak, de azonos sugarúak, akkor csak egy negatív paraméter? inverzióval képezhetők egymásra, a pozitív paraméter? inverzió tengelyes tükrözéssé fajul.
b) Pontosan akkor van ilyen
O centrumú inverzió, ha
O hatványa a két adott körre egyenlő, de nem zérus. Ez azt jelenti, hogy a két adott kör hatványvonalának a körök metszéspontjaitól különböző pontjai a megfelelő centrumok.
Megjegyezzük, hogy - metsző körök esetén - a hatványvonalnak a körök belsejébe eső pontjai olyan - az adott köröket fixen hagyó - inverziók centrumai, amelyek paramétere negatív, ezek tehát nem ,,körre vonatkozó inverziók".