Feladat: 1.40.
Szerkeszthető-e háromszög (adható-e általános szerkesztési eljárás), ha adott
a) a három (belső) szögfelezőjének a hossza;
b) két (belső) szögfelejezőjének és a harmadik oldalhoz tartozó súlyvonalának a hossza;
c) két (belső) szögfelezőjének és a harmadik oldalhoz tartozó magasságának a hossza;
d) egy (belső) szögfelezőjének és a másik két oldalhoz tartozó magasságának a hossza?
Megoldás: 1.40
Először a feladat d) részét intézzük el. Megmutatjuk, hogy ha két magasság és a harmadik oldalhoz tartozó szögfelező hossza van adva, akkor ez utóbbi csúcsnál levő szög szerkeszthető. A magasságok ismeretében ismerjük e szöget közrefogó oldalak arányát is, tehát tudunk a keresetthez hasonló háromszöget szerkeszteni. Ezt a szögfelező ismeretében megfelelő nagyságúra tudjuk nagyítani.
Tegyük fel tehát, hogy ismerjük az
ABC háromszög
A-ból induló szögfelezőjének
f hosszát, ismerjük továbbá a másik két csúcsból induló magasságok hosszát,
mb
-t és
mc
-t. Ekkor
b=
mc
/sinα,
c=
mb
/sinα, a háromszög kétszeres területe
.
Másrészt a szögfelező két részre vágja a háromszóget, ezek területét ugyanígy a két oldalból és a közbezárt szögből kiszámolva
2
TABC
=(
f(
mb
+
mc
sinα
)sin
α
2
|
.
A területre kapott két képletet egyenlővé téve a nevezők kiesnek és
sin
α
2
-re a következő szerkeszthető kifejezést kapjuk:
sin
α
2
=(
mb
mc
f(
mb
+
mc
)
).
|
a), b), c): Ismét azt a trükköt használjuk, hogy egyenlőszárú háromszögre szűkítjük a feladatot. Azt bizonyítjuk be, hogy egy egyenlőszárú háromszög alaphoz tartozó magasságából (szögfelezőjéből, súlyvonalából, a három ugyanaz) és a szárhoz tartozó szögfelezőjéből alkalmasan választott adatok mellett nem szerkeszthető háromszög. Legyen tehát az alaphoz tartozó magasság hossza
AT=m, a szárhoz tartozó szögfelezőjé
BD=f és az alapon nyugvó szög
2β. Tekintsük az alap és a szögfelező által meghatározott
BCD háromszöget. Ennek
BD-vel szemközti szöge
2β,
BC-vel szemközti szöge
180∘
-3β, így a színusz-tétel szerint
f:BC=sin2β:sin3β. El kell tüntetnünk
BC-t, mert nem ismerjük és ,,be kell csempésznünk" az ismert
m-et. Mi sem könnyebb, hiszen
BC=2mcot2β. Ezt beírva az előző összefüggésbe a rendezés után azt kapjuk, hogy
,
vagyis
4f
sin3
β-4m
sin2
β-3fsinβ+2m=0
|
.
Az
1.32 feladat d) részében láttuk, hogy ha itt
2m-et választjuk egységnek,
f-et pedig elég nagy prímszámnak vesszük, akkor nincs racionális megoldása az egyenletnek. Annyit kell még meggondolnunk, hogy mivel van ,,akármilyen lapos" egyenlőszárú háromszög, ezért van olyan is, ahol az alaphoz tartozó magasság és a szárhoz tartozó szögfelező aránya tetszőlegesen kicsi lesz.