Feladat: 1.37.
Adott a háromszög két oldalának és egy (belső) szögfelezőjének a hossza. Szerkeszthető-e a háromszög?
(Hány feladatról van szó?)
A feladat megoldásához tisztázni kell, hogy mit is kérdezünk, amikor ezt kérdezzük, és milyen választ várunk. Ha pozitív a válasz, akkor olyan általános szerkesztési eljárást kell adnunk (diszkusszióval és a helyesség ellenőrzésével), amely minden adathármas esetén vagy megszerkeszti a háromszöget vagy megmutatja, hogy ilyen háromszög nincsen.
De elképzelhető az az eset, hogy ilyen eljárás nincsen. Ebben az esetben viszont elég
egyetlen olyan adathármast mutatni, amikor a háromszög
létezik, de az adatokból a háromszög
bizonyíthatóan nem szerkeszthető. Például azért - és mi más esettel nem fogunk foglalkozni -, mert a háromszög valamelyik adatáról megmutatható, hogy gyöke egy olyan harmadfokú egész együtthatós egyenletnek, amelynek nincsen racionális gyöke.
Megoldás: 1.37
1. megoldás.
Két feladatról van szó, annak megfelelően, hogy a szögfelező
a) a két oldal közös csúcsából indul,
b) nem a közös csúcsból indul.
Az a) esetben legyen adott az
AB,
AC oldal és az
AD (belső) szögfelező hossza. Koszinusz-tétellel az
A-nál levő szög felével mint ismeretlennel kifejezhető
BD és
CD szakasz négyzetének hossza, a kettő aránya pedig a szögfelező tétel szerint szintén ismert. így egy elsőfokú egyenletet kapunk az
A-nál levő szög felére, ami szerkeszthető.
Megoldható a feladat számolás nélkül is: az
AB oldal
A-n túli meghosszabbítására felmérjük az
AC szakaszt, ennek végpontja legyen
E. A
CE szakasz párhuzamos az
AD szögfelezővel, ezért az
AB:AE=AD:CE arány alapján
CE hossza szerkeszthető. Az
ECA egyenlőszárú háromszög három oldala ismert, így szerkeszthető. Ennek
E-nél levő szöge az
ABC háromszög
A-nál levő szögének a fele, így az
ABC háromszögben is ismert két oldal és a közbezárt szög, tehát szerkeszthető. (A szerkesztés helyességének az igazolása és a diszkusszió mindkét esetben könnyű.)
Egy harmadik megoldás, ha felvesszük az
AD szögfelezőt, az
A középpontú
AB, valamint
AC sugarú kört, majd az előbbi kört
D-ből
-AC:AB arányban nagyítjuk (vagy kicsinyítjük). A kapott kör és az eredetileg megrajzolt második kör metszéspontja adja a
C csúcsot. (Ha két metszéspont van, két szimmetrikus megoldást kapunk. Ha nincs metszéspont, a háromszög nem létezik.)
Most megmutatjuk, hogy a b) esetben a három adatból nem szerkeszthető háromszög.
Legyen tehát adva az
AB és a
BC oldal, valamint az
AD belső szögfelező hossza. Felhasználjuk a következő ismert összefüggést (vesd össze a
2.16 Stewart tételt és a szögfelező tételt):
AB·AC=
AD2
+BD·DC.
Válasszuk
AC=b-t ismeretlennek és
AB=1-et egységnek.
BC=a és
AD=f ismert. Másrészt
BD=
a
b+1
és
DC=
ab
b+1
. Ezt a fenti egyenlőségbe beírva, majd
(b+1
)2
-tel végigszorozva az
b(b+1
)2
=
f2
(b+1
)2
+
a2
b
egyenlethez jutunk, ami harmadfokú egyenlet
b-ben. átrendezés után:
b3
+(2-
f2
)
b2
+(1-2
f2
-
a2
)b-
f2
=0.
Válasszuk itt a szögfelező hosszát,
f-et is egységnek és legyen
a is egész. Akkor az egyenlet egész együtthatós, főegyütthatója
1:
b3
+
b2
-(1+
a2
)b-1=0.
Tehát minden racionális gyöke egész. Ráadásul osztója a konstans tagnak, ami
-1, tehát csak
1 vagy
-1 lehet racionális megoldás. Az egyenlet
(b+1)(
b2
-1)-
a2
b=0 alakba írható, ezért ha
a nem nulla (márpedig nem nulla), akkor sem
1, sem
-1 nem megoldása az egyenletnek.
Ebből viszont az
1.30 feladatban kimondott tétel szerint következik, hogy a megadott adatokból nem szerkeszthető háromszög. Márpedig ilyen háromszög
létezik valamilyen
a egész hosszúságra. Valóban, ha egy háromszögben az
AB oldal és az
AD szögfelező egységnyi, akkor az
BC oldala a
(0,∞) intervallumban bármi lehet.
érdemes megjegyezni a következőt. Az természetesen rögtön látszik, hogy a
b oldal nem lehet egységnyi, és nem lehet
-1 sem, de ez nem elég a befejezéshez. Szükség van annak belátására, hogy a harmadfokú egyenletnek sem megoldása egyik sem.
2. megoldás.
A b) részre adhatunk egy másik megoldást is. Megmutatjuk, hogy a háromszög már akkor sem mindig szerkeszthető, ha a két megadott oldal egyenlő hosszú. Röviden: nem szerkeszthető egyenlőszárú háromszög a szár hosszából és a szárhoz tartozó (belső) szögfelező hosszából.
Legyen
AB=AC a két szár és a
BD szögfelező. Jelölje
β az
ABD szöget (az alapon nyugvó szög felét). Ekkor
BDA szög
3β,
BAD szög pedig
180∘
-4β. Adott az
AB:BD=sin3β:sin4β=(4
cos2
β-1):(4
cos3
β-2cosβ)
arány. Ha ezt az arányt például kettőnek választjuk, akkor a
8
cos3
β-4
cos2
β-4cosβ+1=0
egyenletet kapjuk. Annyit kell még belátnunk, hogy a
8
x3
-4
x2
-4x-1 polinomnak nincs racionális gyöke. éppen ezt mondja az
1.30 feladat.
Most is ellenőzitnünk kell, hogy
létezik-e olyan egyenlőszárú háromszög, amelyben a szár és a szárhoz tartozó szögfelező aránya
1:2. Valójában elég azt ellenőriznünk, hogy a fenti egyenletnek van-e
45∘
-nál kisebb (pozitív) szögű megoldása. Könnyen ellenőrizhető, hogy
β=
0∘
esetén a bal oldal pozitív,
β=
45∘
esetén negatív, tehát a kettő között van gyöke.
3. megoldás.
A feladat b) részére adott előző megoldásban nem véletlenül kaptuk ugyanazt az egyenletet, mint az
1.36 feladatban. A feladatot ugyanis arra az esetre egyszerűsítettük, hogy egy egyenlőszárú háromszöget kell szerkesztenünk, amelynek a szárhoz tartozó szögfelezője ugyanolyan hosszú, mint a szára. Könnyen ellenőrizhető, hogy ennek a háromszögnek az alapon nyugvó szögei
360∘
/7-osak (a szárszöge pedig ennek másfélszerese), vagyis éppen a szabályos hétszög egyik külső szögéről van szó. Az
1.36 feladatban beláttuk, hogy a szabályos hétszög nem szerkeszthető, tehát ez a háromszög sem szerkeszthető