Feladat: 5.7.
Adott egy négyszög.
a) Mutassuk meg, hogy átvetíthető egy másik síkba, hogy képe paralelogramma legyen!
b) Átvihető-e vetítések egymás utáni alkalmazásával négyzetbe?
c) Átvihető-e egyetlen megfelelő vetítéssel négyzetbe?
Megoldás: 5.7
a) Az
ABCD négyszög
AB,
CD szemközti oldalainak meghosszabbítását jelölje
U, a
BC,
DA oldalegyenesekét
V. Legyen
O a négyszög
Σ síkjára nem illeszkedő tetszőleges pont és vetítsük
Σ-t
O-ból a
Π=OUV síkkal párhuzamos
Π' síkra. Az
OU,
OV vetítősugarak párhuzamosak ezzel a síkkal, így
U és
V a
Π' sík ideális pontjába képződik, az
ABCD négyszög
A'B'C'D' képén az
A'B',
C'D' és a
B'C',
D'A' egyenesek is párhuzamosak lesznek.
b) Azt mutatjuk meg, hogy az
A'B'C'D' paralelogramma átvihető négyzetbe. Legyen
Γ tetszőleges sík, amely tartalmazza az
A'B' egyenest, de nem tartalmazza
C'-t és
D'-t. A
Γ sík megfelelő
C*
,
D*
pontjaira
ABC*
D*
négyzet. Mivel
C*
D*
és
C'D' is párhuzamos és egyenlő hosszú
A'B'-vel így azok egymással is egyenlőek és párhuzamosak, azaz
C'D'
D*
C*
paralelogramma. Ha a
Π' síkot a
C'
C*
egyenessel párhuzamos vetítősugarakkal átvetítjük a
Γ síkra, akkor az
A'B'C'D' paralelogramma képe az
A'B'
C*
D*
négyzet lesz.
c) Az a) feladatrész megoldásának ábrájára alkalmazzunk egy olyan
A affin transzformációt, amely
Σ síkon identikus, és az
A'B'C'D' paralelogrammát négyzetbe képezi. A
A(O) pontból a
A(Π') síkra vetítve az
ABCD négyszög az
A(A'B'C'D') négyzetbe képződik.