Feladat: 5.48. [
13]
(
Desargues II. tétele)
Adott az
a egyenes és rajta öt különböző pont:
A12
,
A13
,
A14
,
A23
,
A24
(az egyik, bármelyik, lehet ideális is).
a) Szerkesszünk a síkon négy pontot,
P1
-et,
P2
-t,
P3
-at,
P4
-et, úgy hogy a közöttük futó egyenesek
a-ból az adott pontokat messék ki:
a∩
P1
P2
=
a12
,
a∩
P1
P2
=
a13
,
a∩
P1
P4
=
a14
,
a∩
P2
P3
=
a23
,
a∩
P2
P4
=
a24
.
b) Mutassuk meg, hogy a
P1
P2
P3
P4
négyszög sokféleképpen felvehető az a) feladatrésznek megfelelően, pl
P1
és
P2
tetszőlegesen előre felvehető, csak arra kell ügyelni, hogy ne essenek egybe, egyik se illeszkedjen
a-ra, de a
P1
P2
egyenes átmenjen
A12
-n.
1. ábra
c) Bizonyítsuk be, hogy az
A12
,
A13
,
A14
,
A23
,
A24
pontok meghatározzák az
A34
pontot, tehát a b), c) feladatrészekben kapott bármelyik
P1
P2
P3
P4
négyszögnél az
a∩
P3
P4
pont mindig ugyanaz a pont (lásd az
1. ábrát) vagy
P3
P4
mindig párhuzamos
a-val.
Megoldás: 5.48
b) Legyen
P3
=
P1
A13
∩
P2
A23
,
P4
=
P1
A14
∩
P2
A24
, így mindegyik feltétel teljesül. A
P3
,
P4
pontok bármelyike lehet ideális is, tehát a
P1
P2
P3
P4
négyszög esetleg elfajul.
2. ábra
c) Legyen
P1
P4
∩
P2
P3
=X (lásd a
2. ábrát). Vetítsük az
a egyenest
P2
-ből
P1
P4
-re, majd azt
P3
-ból vissza
a-ra:
(
A23
A14
A12
A24
)
=
P2
(
XA14
P1
P4
)
=
P3
(
A23
A14
A13
A34
).
|
A bal oldalon található kettősviszony meghatározott, a jobb oldali kettősviszonyt adó első három pont rögzített, így a negyedik,
A34
is meghatározott.