Feladat: 5.27.
(
A komplex és a projektív kettősviszony azonossága)
Adott a
k körön az
A,
B,
C,
D és a
P. Mutassuk meg, hogy a
PA=a,
PB=b,
PC=c,
PD=d sugárnégyes
(abcd) kettősviszonya egyenlő az
A,
B,
C,
D pontnégyes, mint négy komplex szám, kettősviszonyával (lásd a
3.60. feladatot)!
Megoldás: 5.27
Egy korábbi feladat állítása szerint az
(ABCD) kettősviszony értéke valós. Így
(ABCD) kiszámításához csak az
A,
B,
C,
D pontok közti szakaszok hosszát kell figyelembe vennünk, illetve meg kell vizsgálni a kettősviszony előjelét is.
Az
(ABCD) komplex kettősviszony és az
(abcd) sugárnégyes kettősviszonya egyszerre negatív, ha az
AB pontpár elválasztja a
CD pontpárt, ami ugyanakkor következik be, ha az
ab egyenespár elválasztja a
cd egyenespárt.
Alkalmazzuk a Nagy Szinusz Tételt a
PAC,
PCB,
PAD,
PDB háromszögekre! Ha az adott kör sugara
r, akkor
AC=2rsinac, CB=2rsincb, AD=2rsinad, DB=2rsindb,
|
| (1) |
így
(ABCD)=(abcd). Megjegyezzük, hogy a (
1) összefüggés akkor is teljesül, ha
P megegyezik az
A,
B,
C,
D pontok valamelyikével, pl
A-val, mert ilyenkor a húr pl
AC kerületi szöge a
PA érintő és az
AC húr szögével egyenlő.