Megoldás: 6.1
Legyen az
A pont merőleges vetülete az
OBC síkon
D,
D
merőleges vetülete az
OB, illetve az
OC egyeneseken rendre
E
és
F. Ekkor
AE merőleges
OB-re,
AF pedig
OC-re (lásd
az
1. ábrát).
1. ábra
Ebből következően az
AE és
ED egyenesek párhuzamosak az
ABC
gömbháromszög
c, illetve
a oldalának
B-beli érintőjével. Így
AED∠=β. Hasonlóan
AFD∠=γ. Tehát az
ADE
derékszögű háromszögben
sinβ=AD/AE, az
ADF derékszögű
háromszögben
sinγ=AD/AF. Ezért
sinβ:sinγ=AF:AE.
AOB∠=c miatt az
AOE derékszögű háromszögben
sinc=AE/AO=AE, mivel egységsugarú gömböt vizsgálunk. Hasonlóan,
AOC∠=b miatt az
AOF derékszögű háromszögben
sinb=AF/AO=AF. Tehát
sinb:sinc=AF:AE=sinβ:sinγ.
A tétel többi része hasonlóan bizonyítható.