Feladat: 3.52.
A
k1
,
k2
koncenrikus körök közé
8 egyenlő sugarú kört helyeztünk, amelyek ciklikusan érintik egymást és mindegyik érinti
k1
-et és
k2
-t (lásd az
1. ábrát).
a) Határozzuk meg a két koncentrikus kör sugarának arányát!
b) A körlánc tagjai egymást olyan pontokban érintik, amelyek mind egy
l körön vannak. Fejezzük ki a
k1
-gyel és
k2
-vel koncentrikus
l kör sugarát a
k1
,
k2
körök sugaraival!
c) Oldjuk meg az a), b) feladatokat, ha a az eredeti két kör közé
n ciklikusan egymást érintő kör lánca írható!
1. ábra
Megoldás: 3.52
a Ha a
k1
,
k2
körök sugarai
r1
és
r2
, akkor a körlánc tagjainak középpontjai egy
R=
r1
+
r2
2
sugarú körön vannak, és a körlánc tagjai
ρ=
|
r1
-
r2
|
2
sugarú körök (lásd a
2. ábrát). A koncentrikus körök
A középpontjai, a körlánc két szomszédos tagjának
O1
,
O2
középpontja egy olyan egyenlő szárú háromszöget alkot, amelyben az alap
T felezőpontja az körlánc tagjainak érintési pontja és amelyben
O1
AT∠=
180∘
8
=22,
5∘
,
ATO1
∠=
90∘
,
TO1
=ρ=
|
r1
-
r2
|
2
,
AO1
=R=
r1
+
r2
2
,
|
| (1) |
tehát
sin22,
5∘
=
|
r1
-
r2
|
2
r1
+
r2
2
⇒ sin22,
5∘
=
|
r1
r2
-1|
r1
r2
+1
,
|
| (2) |
amiből
r1
r2
=
1+sin22,
5∘
1-sin22,
5∘
.
|
| (3) |
2. ábra
b) Az
ATO1
derékszögű háromszögben
AT=R, ezt a hosszt keressük és Pitagorasz tételével meg is határozható:
R2
=
AT2
=
AO1
2
-
O1
T2
=
(
r1
+
r2
2
)2
-
|
r1
-
r2
2
|2
=
r1
r2
,
|
| (4) |
azaz
R=
r1
r2
.
c) Az
1 összefüggések közül csak a legelső módosul az alábbi módon:
O1
AT∠=
180∘
n
,
|
így az általános esetben
r1
r2
=
1+sin
180∘
n
1-sin
180∘
n
,
|
míg az
R=
r1
r2
összefüggés ugyanúgy érvényben marad.