Megoldás: 2.16
Tekintsük az
súlyozott pontrendszert.
Mivel a II. alapelv miatt
(
Aq
,
Bp
)=
Fp+q
, így az I. alapelv miatt
(
Aq
,
Bp
,
Cp+q
)=
S2p+2q
, ahol
S az
FC szakasz felezőpontja.
Számoljuk ki a rendszer saját súlypontjára, majd az
F pontra vonatkozó tehetetlenségi nyomatékát!
A VI. alapelv szerint
ΘS
=
p(p+q)
a2
+q(p+q)
b2
+
pqc2
2(p+q)
=
p
2
a2
+
q
2
b2
+
pq
2(p+q)
c2
,
|
míg a IV. alapelv szerint
ΘF
=(p+q)
FC2
+
qFA2
+
pFB2
=(p+q)
FC2
+q
(
pc
p+q
)2
+p
(
qc
p+q
)2
=
|
a Steiner-tétel szerint (V. alapelv) pedig
ΘF
=
ΘS
+2(p+q)
FS2
=
ΘS
+2(p+q)
(
FC
2
)2
=
ΘS
+
p+q
2
FC2
,
|
azaz
(p+q)
FC2
+
pq
p+q
c2
=
p
2
a2
+
q
2
b2
+
pq
2(p+q)
c2
+
p+q
2
FC2
,
|
és ebből
FC2
=
p
p+q
a2
+
q
p+q
b2
-
pq
(p+q
)2
c2
.
|