Feladat: 6.2.
Készítsünk egy 2000 darab valós számból álló H halmazt, amelynek egyik eleme sem nulla. Jelöljük k-val a H-ből kiválasztható olyan négyelemű részhalmazok számát, amelyekben a négy elem szorzata negatív. A H elemei közül hányat kell negatívnak választanunk ahhoz, hogy k értéke a lehető legnagyobb legyen?
 

Megoldás: 6.2
Legyen l a H halmaz negatív elemeinek száma. H egy négyelemű R részhalmazában az elemek szorzata pontosan akkor negatív, ha R-ben az l elem közül egy vagy három van. Olyan R, amelyben egy negatív szám van, l( 2000-l 3 ) van. Olyan R pedig, amelyben három negatív szám van, (2000-l)( l 3 ) van. E két szám összegének hatszorosa:

l(2000-l)[(l-2)(l-1)+(1999-l)(1998-l)].

Ennek a kifejezésnek keressük a maximumát. A kifejezés egyszerűsödik, ha szimmetrizáljuk, azaz bevezetjük az L=1000-l jelölést. Ekkor l(2000-l)= 10002 - L2 , a nagy zárójelben pedig (998-L)(999-L)+(998+L)(999+L)=2( L2 +998×999). Tehát végső soron az ( 10002 - L2 )( L2 +998×999) kifejezés maximumát keressük. A két tényező összege állandó, tehát akkor lesz a legnagyobb, ha a különbségük, 2998-2 L2 abszolútértéke a lehető legkisebb, vagyis amikor L=45 és l=955.