Feladat: 2.15.
* Adott egy kör kerületén 100 pont. Két pont ,,távolságán" a kör kerületén vett távolságát, azaz a két pont által határolt két ív közül a kisebbik hosszát értjük. (Átmérő esetén a távolság a félkörív.) Bizonyítsuk be, hogy a 100 pont között fellépő távolságok közül legfeljebb 2500 lehet a kör kerületének harmadánál nagyobb.
Megoldás: 2.15
Tekintsük azt a gráfot, amelynek pontjai a megadott 100 pont. Két pontot akkor kötünk össze éllel, ha (a feladat értelmében vett) távolságuk nagyobb a kör kerületének harmadánál. Ebben a gráfban nem lehet háromszög, hiszen a három pont által meghatározott három kisebbik körív együttes hossza nagyobb volna a kör kerületénél, ami lehetetlen. Tehát alkalmazható Turán háromszögekre vonatkozó tétele (
2.3. feladat): ennek a gráfnak legfeljebb 2500 éle van. Ezt kellett bizonyítani.