Feladat: 3.31.
Adott egy
d pozitív szám. Ezenkívül egy sík pontjait kiszíneztük két színnel. Bizonyítandó, hogy van két pont,
A és
B, amelyek azonos színűek és
AB hossza pont
d.
Megoldás: 3.31
Legyen
ABCD egy
d oldalú, 60 -os rombusz,
A-nál és
C-nél van 60 , vagyis
DB is
d hosszú. Legyen
A színe 1-es. Ha
B és
D valamelyike 1-es színű, kész vagyunk. Ha
B és
D színe azonos, akkor is kész vagyunk. Ha nem, akkor legyen
B színe 2-es,
D színe 3-as. Ha
c színe nem 2-es, ismét kész vagyunk. Egyetlen eset maradt tehát: ha
A színe is 1-es. Ebből következik, hogy ha az
A középpontú,
3d sugarú kör kerületén van 1-estől különböző színű pont, akkor kész vagyunk. Ha viszont e kör kerülete teljes egészében 1-es, akkor bármely
d hosszú húrja megfelel.