Feladat: 3.34.
Adott egy d pozitív szám, továbbá kiszíneztük a sík pontjait két színnel. Bizonyítsuk be, hogy vagy van egy d oldalú szabályos háromszög, vagy van egy 2d oldalú szabályos háromszög, vagy van egy 3d oldalú szabályos háromszög, amelynek mindhárom csúcsa azonos színű.
 

Megoldás: 3.34
A 3.31. feladat szerint van két egyszínű pont, A és B, amelyek távolsága d. Legyen a színűk 1-es és legyen C és D a síknak az a két pontja, amely A-tól és B-től is d távolságra van. Ha ezek valamelyike szintén 1-es színű, akkor készen vagyunk. Ha viszont mindkettő 2-es színű, akkor tekintsük azt az E pontot, az AB félegyenes meghosszabbításán, amelyik B-től d távolságra van. Ez C-vel és D-vel egy 3d oldalú szabályos háromszöget alkot, tehát ha E színe is 2-es, akkor ismét kész vagyunk. Ha viszont 1-es színű, akkor legyen F az a pont C oldalán, amely B-től és E-től is d távolságra van. Ha ez is 1-es színű, akkor CEF megfelelő (egyszínű) d oldalú szabályos háromszög. Ha viszont 2-es színű, akkor legyen G az a pont, amely C-től és F-től d távolságra van (és nem azonos B-vel). Ha ez a pont 2-es színű, akkor CGF egy d oldalú szabályos háromszög, amely egyszínű, ha pedig 1-es színű, akkor AEG egy 2d oldalú, egyszínű szabályos háromszög.