Feladat: 16.4.
Felvágható-e egy háromszög
n
háromszögre, melyek az eredetihez hasonlók, ha
n>5?
Megoldás: 16.4
Egy háromszöget középvonalaival 4 hozzá
hasonlóra vághatunk. A meglevő háromszögek
közül bármelyiket így tovább vágva a
háromszögek száma 3-mal nő. Ilyen módon minden
4+3k alakú szám esetén van megfelelő
felbontás. Keressünk felbontást 6-ra és 8-ra.
Ekkor minden
6+3k és
8+3k alakú számra is van
megfelelő felbontás az imént leírtak szerint.
Nincs felbontás a 2, 3, 5 számokra.
Más gondolatmenetet is követhetünk: Vegyünk nagyon
sok egybevágó kis háromszöget. Az egyikhez
hozzáillesztve 3 másikat kapjuk az előző
megoldás kezdő lépésének felbontását.
Ehhez a nagy háromszöghöz 5 másikat illesztve
kapunk egy másik felbontást. Ez összesen 9 kis
háromszög, de gondolhatjuk úgy is, hogy 1 nagyobb
és öt kicsi, azaz összesen 6. Ehhez
hozzáépíthetünk 7 kis háromszöget és
így tovább. Ezzel a módszerrel minden
1+(2k+1)
alakú számra kapunk felbontást. Ezt a módszert
még ki kell egészítenünk a páratlan
számokra való felbontással. Ezt érdemes a 7-tel
kezdeni.