Megoldás: 16.19
1. megoldás.
Teljes indukcióval történhet a bizonyítás.
2. megoldás.
Megoldhatjuk a feladatot teljes indukció nélkül is.
a) Használjuk a következő azonosságot:
i(i+1)=
i2
+i
Ezt az összegzésben használva
∑i=1
ni(i+1)=
∑i=1
n
i2
+
∑i=1
ni=
n(n+1)(2n+1)
6
+
n(n+1)
2
=
n(n+1)
2
(
2n+1
3
+1)=
n(n+1)(n+2)
3
b) Használjuk a következő azonosságot:
1
i(i+1)
=
1
i
-
1
i+1
Ezt az összegzésben használva
∑i=1
n
1
i(i+1)
=
∑i=1
n(
1
i
-
1
i+1
)==(
1
1
-
1
2
)+(
1
2
-
1
3
)+(
1
3
-
1
4
)+…+(
1
n
-
1
n+1
)=
1
1
-
1
n+1
.
3. megoldás.
Az a) részt bizonyítandó állítását átfogalmava:
i(i+1)=2
i(i+1)
2
=2
i(i+1)·(i-1)!
2·(i-1)!
=2·
(i+1)!
2!·(i-1)!
=2·(
i+1
2
)
Hasonló módon kaphatjuk
n(n+1)(n+2)
3
=2·(
n+2
3
)
A bizonyítandó állítását
∑i=1
n2·(
i+1
2
)=2·(
n+2
3
)
alakot ölti, ami egyenértékű a
∑i=1
n(
i+1
2
)=(
n+2
3
)
alakkal. Ez több féle módon fejezhető be:
- Lehet hivatkozni a Pascal háromszög tulajdonságára
- Lehet azt mondani, hogy
n+2 tárgyból kiválasztunk
3 darabot. Van egy első kedvencünk, azt kiválasztjuk, a több
n+1-ből már csak
2-t kell. Ezek után az első kedvencet nem választjuk, marad
n+1 tárgy. Ekkor a második kedvencet kiválasztjuk és a maradék én
n tárgyból választunk
2-t (ezek mind különböznek az eddig választottaktól, hiszen nem tartalmazzák az első kedvencet), és így tovább. Kapjuk
(
n+2
3
)=(
n+1
2
)+(
n
2
)+…+(
2
2
) és ezt akartuk bizonyítani.