Megoldás: 19.32
Tekintsük a társaság tagjaiból összeállítható összes ,,hármast". Ezek száma
(
3n+1
3
). Most számoljuk meg, hány ,,rossz" hármas lehet ezek között. ,,Rossz" hármasnak azt tekintjük, amelynek tagjai a három játék közül legfeljebb kettőt játszanak egymás között. Minden ilyen hármasban van legalább egy valaki, aki a két másikkal ugyanazt a játékot játssza, sőt, lehet, hogy mind a három játékos ilyen. Mindenesetre minden ilyen ,,rossz" hármashoz hozzárendelhetünk valakit, aki e hármas másik két tagjával ugyanazt játssza. Számoljuk meg, egy embert hány ilyen ,,rossz" hármashoz rendelhetünk hozzá. Nyilván
3(
n
2
)-höz, hiszen csak olyan hármasokhoz rendelhettük hozzá, amelyeknek tagjaival ugyanazt játssza. Mármost ő például
n emberrel sakkozik, tehát a sakk miatt csak olyan hármasokhoz rendelhettük, amelyeknek másik két tagja ebből az
n emberből való. Ilyenből
(
n
2
) van. Ugyanez igaz a teniszre és a pingpongra is.
Egy embert tehát legfeljebb
3(
n
2
) ,,rossz" hármashoz rendelhettük hozzá. Összesen
3n+1 ember van, tehát összesen legfeljebb
(3n+1)3(
n
2
) ,,rossz" hármas lehet. A ,,jó" hármasok száma tehát legalább
|
(
3n+1
3
)-(3n+1)3(
n
2
)=(3n+1)n(3n-1-3(n-1))/2=(3n+1)n.
|
Ezzel beláttuk, hogy nemcsak hogy van egy olyan hármas, amely megfelel a feladat feltételének, hanem legalább
(3n+1)n van.
Megjegyzés. A talált jó hármasok száma bizonyos szempontból ,,nagy", bizonyos szempontból viszont ,,kicsi". Nagy annyiban, hogy
n-nel együtt végtelenhez tart. Viszont az összes hármasok számához képest kicsi, vagyis az összes hármasnak csak
2/(3n-1)-ed része, s ez nullához tart, ha
n a végtelenhez tart. Vagyis az összes hármasoknak csak elenyésző részéről sikerült belátnunk, hogy jó. A kérdés az, hogy vajon igaz-e, hogy az összes hármas pozitív százaléka jó abban az értelemben, hogy van-e olyan
c konstans, amelyre igaz, hogy az összes hármasoknak legalább a
c-szerese jó,
n-től függetlenül. Erről szól a
GR.II.3.15. feladat.