Megoldás: 19.12
1. megoldás. A kocka élei három csoportba sorolhatók aszerint, hogy milyen irányúak. Mindhárom csoportból kell szerepelnie legalább egy élnek. Tehát a lehetséges eloszlások:
{4,2,1}, {3,3,1}, {3,2,2}. Az első esetben hat, a másik két esetben háromféleképp választhatjuk ki, hogy melyik csoporthoz melyik számot rendeljük. Az első esetben a négy él kiválasztásánál már nincs választási lehetőségünk, a második két élt csak négyféleképp választhatjuk, hogy ne zárjanak be kört. Ezek közül azonban csak abban a két esetben tudjuk az utat befejezni - mindkét esetben kétféleképp is -, ha egy lapon levő két élt választottunk. Ez tehát
6·2·2=24 lehetőség. A második esetben az első irány három élét négyféleképp választhatjuk, a következő irányhoz tartozó három élt viszont már nem választhatjuk szabadon, csak kétféleképpen. Ismét két szemközti oldallap lesz összefüggő, de most csak egyféleképp tudjuk úttá kiegészíteni a gráfot. Ez
3·4·2=24 lehetőség. A harmadik lehetőséget hasonlóan számolhatjuk ki: az első hármas élcsoportot még négyféleképpen választhatjuk, a következőt már csak kétféleképpen, és a maradó egy él mindkét esetben egyértelmű. Ez ismét 24 lehetőség.
Összesen 72-féleképp lehet a kocka éleit úgy kiválasztani, hogy Hamilton-utat alkossanak.
2. megoldás. Okoskodhatunk a következő, talán egyszerűbb módon is. A Hamilton-út első pontját 8-féleképpen választhatjuk ki és innen három irányban indulhatunk. A következő ponttól még kétféleképp haladhatunk tovább. Ez eddig 48 lehetőség.
Ha a harmadik csúcsból ugyanazon a lapon fordulunk vissza, akkor a negyedik él már egyértelmű és átjutunk a szemközti lapra, amit kétféleképp járhatunk be.
Ha a harmadik csúcsból a harmadik irányú élen haladunk tovább, akkor a negyedik élnek nem választhatjuk az elsővel párhuzamosat, csakis a másodikkal párhuzamosat, s innen már végig egyértelmű a befejezés.
Összesen 144 Hamilton-utat találtunk.
Megjegyzés. A két megoldás két különböző eredményt adott - vajon hogyan lehetséges ez?