Feladat: 19.33.
[183] Legfeljebb hány valós számból állhat az a sorozat, amelynek bármely hét egymás utáni tagját összeadva pozitív számot, bármely 11 egymás utáni tagját összeadva negatív számot kapunk? (IMO 1977/2)
 

Megoldás: 19.33
1. megoldás. Megmutatjuk, hogy 17 tagú sorozatra a kívánt feltételek nem teljesülhetnek. Tegyük fel ugyanis, hogy volna egy a1 , a2 …, a17 sorozatunk, amelynek bármely hét egymás utáni tagját összeadva pozitív számot kapunk, bármely 11 egymás utáni tagját összeadva negatív számot kapunk. Írjuk fel a következő táblázatot:

a1     a2    …    a10 ,    a11 a2     a3    …    a11 ,    a12 … a7     a8    …    a16 ,    a17

Ebben a táblázatban minden sor összege negatív, amiből az következik, hogy a táblázat összes elemét összeadva negatív számot kapunk. Másrészt minden oszlop összege pozitív, amiből az következik, hogy a táblázat összes elemét összeadva pozitív számot kapunk. Ez az ellentmondás mutatja, hogy feltevésünk hibás, nem létezik 17 tagú sorozat a megfelelő tulajdonsággal.

Ez a bizonyítás igen elegáns, ám nehéz kiolvasni belőle, hogy hogyan csináljunk 16 tagú, a feltételeknek eleget tevő sorozatot. Ezért 19.33M2.-ben mutatunk egy göröngyösebb, ám az ellenpéldára jobban rávezető megoldást.
 
2. megoldás. Először belátjuk, hogy egy megfelelő sorozatban az első négy tag összege negatív, a következő háromé pozitív, az utána következő négyé ismét negatív. Ez utóbbi például abból következik, hogy az első hét tag összege pozitív, míg az első 11 tagé negatív, tehát olyan négy számot kellett az első héthez adnunk, amelyek összege negatív. Hasonlóan kapjuk a másik három állítást.

Az így kapott 4-3-4 hosszú blokkot mindaddig eltolhatjuk, amíg ,,ki nem csúszunk a másik oldalon", vagyis ha a sorozatnak 17 tagja volna, akkor eltolhatjuk eggyel, kettővel, …, hattal. Ez többek közt azt jelenti, hogy a hetediktől a tizedikig összeadva a számokat negatív összeget kapunk. Másrészt a nyolcadiktól a tizedikig összeadva a számokat pozitív összeget kapunk, tehát a hetedik szám biztosan negatív. Ugyanígy megkapjuk azt is, hogy az ötödik és a hatodik szám is negatív, ami ellentmondás, hiszen az ötödik, hatodik és hetedik szám összegének pozitívnak kellene lennie.

Ha a gondolatmenetünket alaposan kielemezzük, megállapíthatjuk, hogy a 16 tagú sorozatból melyik számnak milyen előjelűnek kell lennie. Ezután már két egyenlőtlenséget kell csak felírni, hogy megkapjuk a megfelelő számokat:

⟨-12,-12,31,-12,-12,-12,31,-12,-12,31,-12,-12,-12,31,-12,-12⟩.