Feladat: 20.23.
** [komal]
a) Bizonyítsuk be, hogy
∑(-1
)i
(
n
i
)
ik
=0, ha
k<n, ahol az összegzés
i=0,1,…n-re történik.
b) Mennyi az összeg értéke
k=n-re?
Megoldás: 20.23
A feladatnak többféle megoldása is van, mi most a legkevesebb ismeretet követelőt ismertetjük.
Az összeg ,,gyanúsan" emlékeztet egy logikai szitaformulára. Azt kell kitalálnunk, vajon mit jelentenek az egyes tagok. Észrevesszük, hogy
ik
éppen az olyan számok száma, amelyek felírásához adott
i-féle különböző számjegyet használunk (nem feltétlenül mind az
i-t). A binomiális együttható pedig azt jelöli, hogy hányféleképp választhatunk ki
i jelet
n jel közül. Ezzel máris megvan a megoldás kulcsa: a jobb oldalon azt számoljuk ki, hogy hány
k-jegyű szám van az
n-es számrendszerben, amelyik mind az
n számjegyet használja. Ha
k<n, akkor ilyen szám nincs, tehát az összeg valóban nulla. Ha
k=n, akkor az összeg
n!.