Megoldás: 19.6
1. megoldás. Ha
a=b, akkor végtelen sok ilyen számtani sorozat van. Feltesszük tehát, hogy
a≠b. Ha
a a sorozat
m-edik tagja,
b a sorozat
n-edik tagja, akkor
m≠n, és a sorozat differenciája
d=
a-b
m-n
. Kezdőtagja
k1
=a-(m-1)d=a-
(a-b)(m-1)
m-n
. Tehát minden
m≠n számpárhoz pontosan egy megfelelő számtani sorozat tartozik.
m és
n értéke 0 és 100 között lehet, így az összes megfelelő számtani sorozat száma
100·99=9900.
2. megoldás. Okoskodhatunk a következőképpen is:
Nyilván feltehető, hogy
a<b és elég megszámolni azokat a sorozatokat, amelyek differenciája pozitív, hiszen a negatív differenciájuakat ezek megfordításaként kapjuk. Tehát megszámoljuk a pozitív differenciájuakat és a számukat megszorozzuk kettővel.
A sorozat
differenciáját most már egyértelműen meghatározza az, hogy hány tagja esik
a és
b közé. Ha ezt rögzítettük, a
sorozatot már egyértelműen meghatározza, hogy hány tagja kisebb
a-nál. Jelölje
k az
a-nál kisebb,
l az
a és
b közé eső,
m a
b-nél nagyobb elemek számát. Ekkor
k+l+m=98.
A kérdésünk most úgy alakul át, hogy hány nem-negatív egészekből álló megoldása van a
k+l+m=98 egyenletnek. Nyilván annyi, ahány pozitív megoldása van a
k'+l'+m'=101 egyenletnek (
k'=k+1,
l'=l+1 és
m'=m+1), ahol a sorrend is számít. Könnyen kiszámolható, hogy ennek
(
100
2
) megoldása van. Tehát a keresett megoldásszám 9900.