Feladat: 20.3.
Egy 1999 tagú társaságban mindenki a társaság
k másik tagjával szimpatizál. Milyen
k esetén lehetünk biztosak abban, hogy van két ember, akinek azonosak az érzelmei egymás iránt, vagyis vagy mindketten szimpatizálnak egymással, vagy egyikük sem szimpatizál a másikkal? (Arany Dániel-verseny/H)
Megoldás: 20.3
A társaságban összesen
1999k darab ,,szimpatizálást" számolhatunk össze. Másrészt nevezzük
a-t és
b-t jó párnak, ha vagy kölcsönösen szimpatizálnak egymással, vagy egyikük sem szimpatizál a másikkal. Ha nincs ilyen pár, az pontosan azt jelenti, hogy bárhogyan is választunk két embert, ezek közül pontosan az egyik szimpatizál a másikkal. Vagyis csak akkor nem lehetünk biztosak, hogy van egy jó pár, ha a társaságból képezhető párok száma pontosan
1999k. De a párok száma
1999·999, tehát csak
k=999 esetén képzelhető el, hogy nincs jó pár.
Mutatnunk kell még példát arra, hogy van olyan 1999 tagú társaság, ahol mindenki pontosan 999 másikkal szimpatizál, de nincs jó pár. Ültessük az 1999 tagú társaságot egy kerek asztal köré, és jelöljünk ki egy körüljárási irányt. Világos, hogy itt minden
a és
b ember közül az adott irányban pontosan az egyik ül a másikhoz közelebb, hiszen nincs szemközt ülő. Tegyük fel, hogy mindenki a hozzá közelebb ülőkkel szimpatizál, azaz a tőle e körüljárási irány szerinti első, második,
…,999-ik emberrel szimpatizál. Ebben az esetben
a pontosan akkor fog szimpatizálni
b-vel, ha
b nem szimpatizál
a-val. Vagyis ebben a társaságban tényleg nincs jó pár.