Megoldás: 13.14
Legyen
XY a sokszög egy oldala, állítsunk merőlegest erre az oldalra a két végpontjában. Így kapunk egy
XY-ra merőleges mindkét irányban végtelen párhuzamos sávot. Ha
P pont ebbe a sávba esik, akkor kész vagyunk. Ha most a sokszög minden oldalára felrajzoljuk ezt a sávot, akkor szemléletesen rögtön látszik, hogy ezek a sávok együttesen lefedik a sokszöget, tehát ha
P a sokszög belső pontja, akkor az egyik ilyen sávnak tartalmaznia kell, s ezzel be is láttuk volna, hogy a feladat kérdésére igenlő a válasz. Csakhogy sajnos maga az az állítás, hogy ezek a sávok lefedik az egész sokszöget, korántsem olyan egyszerűen bizonyítható. A következő feladat mutatja, hogy használni kell hozzá a sokszög konvexitását.
Megpróbálhatjuk tehát ezt az állítást bebizonyítani, de egyszerűbbnek tűnik a következő észrevételre építeni a bizonyítást.
Legyen a sokszög egy oldala
AB, és legyen a sokszögön belüli
P pontnak az
AB egyenesen való merőleges vetülete
PAB
, és tegyük fel, hogy ez a vetület az
AB oldal
B-n túli meghosszabbítására esik. Legyen a
B csúcs másik szomszédja a
C csúcs. A
C pont a sokszög konvexitása miatt az
AB egyenesnek
P-vel azonos partján van. Másrészt
BC metszi a
PPAB
szakaszt, különben
P kívül volna a sokszögön. Ezért a
P pont közelebb van a
BC egyeneshez, mint az
AB egyenesnhez.
Ezt az eljárást folytathatjuk. Tegyük fel, hogy egyetlen vetületpont sem esik a megfelelő oldalra. Ekkor a
PBC
vetület sem esik a
BC oldalra. De akkor csakis
C-n túli meghosszabbítására eshet, s ekkor
D-vel jelölve a következő csúcsot azt kapjuk, hogy a
CD egyenes közelebb van
P-hez, mint a
BC egyenes, az pedig közelebb van, mint az
AB egyenes. Az eljárást folytatva a sokszög soron következő oldalának egyenese mindig közelebb lesz
P-hez, mint az előző, míg végül visszajutunk az
AB oldalhoz és azt kapjuk, hogy az
AB oldal egyenese közelebb van
P-hez, mint az
AB oldal egyenese, ami ellentmondás.
Ez az ellentmondás bizonyítja, hogy van olyan oldal, amelyre ráesik
P merőleges vetülete.
Megjegyzés: A második bekezdés gondolatát elmondhatjuk úgy is, hogy vegyük azt az
AB oldalegyenest (ha több van, akkor bármelyiket közülük), amelyhez
P a legközelebb van. Az első bekezdésben bizonyítottak szerint
PAB
az
AB oldalra kell, hogy essen.