Feladat: 13.18.
Adott
n pont a síkon, nincs mind egy egyenesen. Nevezzük
jó egyenesnek a sík olyan egyeneseit, amelyekre a megadott pontok közül legalább kettő illeszkedik. Előfordulhat-e, hogy minden jó egyenesre legalább három megadott pont illeszkedik?
Megoldás: 13.18
Némi próbálgatás után kialakul az a benyomásunk, hogy a feladat kérdésére nemleges a válasz. Ezt a következő egyszerű módon igazolhatjuk.
1. ábra
Tekintsük minden megadott pont távolságát minden olyan jó egyenestől, amelyre nem illeszkedik. Legyen
d az előforduló távolságok közül a legkisebb és legyen
P egy olyan pont, amely egy rajta át nem menő
e jó egyenestől
d távolságra van. Ilyen pont van, mert véges sok távolság van. Azt állítjuk, hogy
e-n nem lehet három pont. Ha ugyanis
Q,R,S három megadott pont lenne az
e egyenesen ebben a sorrendben (tehát
R a középső pont, l. az
1. ábrát), akkor
R vagy a
PS vagy a
PQ egyeneshez
d-nél közelebb volna. (Legyen ugyanis
P vetülete
e-n
P'. Szimmetria okokból feltehetjük, hogy
R a
QP' szakasz pontja, s ekkor
R távolsága
PQ egyenestől legfeljebb akkora, mint
P'-é, s ez biztosan kisebb a
PP' szakasz
d hosszánál.)
Ez az ellentmondás bizonyítja állításunkat.