Megoldás: 12.16
Vegyük azt a csapatot, amelyik a legtöbb mérkőzést játszotta az adott időpillanatig. Ha több ilyen van, akkor az egyiket közülük. Legyen ez az
a csapat, az eddig lejátszott mérkőzéseinek száma legyen
d. Tudjuk, hogy
d>4, mert ha minden csapat csak legfeljebb négy mérkőzést játszott volna, akkor összesen legfeljebb
9·4/2=18 mérkőzés lett volna. Jelöljük
S-sel azoknak a csapatoknak a halmazát, akikkel
a játszott.
Tegyük fel először, hogy
S-ből senki nem játszott senkivel. Jelöljük
T-vel a többi csapatot (ebbe beleértjük
A-t is). Azt kapjuk, hogy minden egyes lejátszott mérkőzésnek legalább az egyik résztvevője
T-beli csapat. Mármost
T-ben
9-d csapat van, és mivel
d maximális, mindegyikük legfeljebb
d mérkőzést játszott. Az összes lejátszott mérkőzés tehát legfeljebb
(9-d)d. E szorzat két tényezőjének összege 9, független
d-től, tehát legnagyobb akkor lesz, ha a két tényező a lehető legkevesebbel tér el egymástól, azaz ha egyikük 4, a másikuk 5. (A mi esetünkben csak a
d=5 eset jön szóba.) Vagyis e szorzat értéke legfeljebb 20, ami ellentmond a feladat feltételének.
Ellentmondásra vezet tehát annak feltételezése, hogy
S-ből senki nem játszott senkivel. De ha valamelyik két
S-beli csapat játszott egymással, akkor kész vagyunk: e két csapat valamint
a egy megfelelő hármas.