Megoldás: 16.19
Vegyünk egy, az illető által kitöltött lottószelvényt, legyen ez
L1
. A többi
55
-1 szelvény mindegyikén be van ikszelve az
L1
-en szereplő öt szám valamelyike. Ezért a skatulyaelv alapján van
54
szelvény, amelyiken ugyanaz az,
L1
-en is szereplő szám van beikszelve. Legyen ez a szám
a (lehet, hogy több ilyen szám is van, akkor az egyiket találomra kiválasztjuk). Jegyezzük meg: az
a szám több, mint
54
szelvényen van beikszelve.
Ha az
a szám mind az
55
kitöltött lottószelvényen be van ikszelve, akkor kész vagyunk. Ellenkező esetben van egy
L2
szelvény, amelyen
a nincs beikszelve. Az
a-t tartalmazó több, mint
54
szelvény mindegyikén be kell ikszelve lennie (legalább) egy
L2
-n beikszelt számnak. Valamelyik az
L2
-n szereplő szám több, mint
53
darab,
a-t is tartalmazó szelvényen van beikszelve. Most tehát van több, mint
53
olyan szelvényünk, amelyen
a és
b is be van ikszelve.
Megint kész vagyunk, ha minden kitöltött szelvényen be van ikszelve
a és
b közül legalább az egyik. Ellenkező esetben található egy
L3
szelvény, amelyen sem
a, sem
b nincs beikszelve. Viszont a rajta szereplő öt szám közül legalább az egyik olyan, hogy az
a-t és
b-t is tartalmazó több, mint
53
szelvény közül több, mint
52
tartalmazza. Ha ezt az elemet
c-vel jelöljük, akkor találtunk több, mint
52
szelvényt, amelyen
a,
b és
c is be van ikszelve.
Az eljárást folytatva vagy minden szelvényen be van ikszelve
a,
b és
c közül valamelyik, vagy találunk több, mint öt szelvényt, amelyen
a,
b,
c és még egy
d is be van ikszelve.
Vagyis az az eset maradt, hogy legalább hat szelvényen be van ikszelve
a,
b,
c és
d. Azt állítjuk, hogy ez a négy szám megfelel a feladat feltételének. Ha ugyanis volna egy olyan
L' szelvény, amelyen egyikük sem szerepelne, akkor a rajta szereplő öt szám közül valamelyiknek - jelöljük ezt
e-vel - a hat szelvény közül legalább kettőn kell szerepelnie. Ez viszont azt jelentené, hogy két olyan szelvény van, amin az
a,b,c,d,e számok vannak beikszelve, tehát nem különbözők.
Ezzel a feladat állítását bebizonyítottuk.
Megjegyzés. A feladat bizonyításában nem használtuk, hogy az ötös lottón 90 szám van. A bizonyítás ötös helyett ,,
n-es lottóra" is működik, és a következő állítást adja:
Ha van
nn
darab különböző
n elemű halmaz (
n legalább kettő) úgy, hogy bármely kettőnek van közös eleme, akkor található
n-1 darab elem úgy, hogy bármely halmaz tartalmaz az
n-1 elem közül legalább egyet.
Az állítással kapcsolatban számos érdekes, részben még megoldatlan kérdés merül fel. Ezekről olvashatunk Surányi János:
Matematikai versenytételek III. c. könyvében ( [
174] 165-168. oldal).