Megoldás: 18.18
A bizonyítandó állítás azt jelenti, hogy van három olyan rácspont, amelynek abszcisszáit összeadva hárommal osztható számot kapunk, és ordinátáit összeadva is hárommal osztható számot kapunk.
Megmutatjuk, hogy ez az állítás akkor is igaz, ha elhagyjuk azt a feltételt, hogy semelyik három pont nincs egy egyenesen.
Nyilvánvaló, hogy ha minden rácspont abszcisszájához ugyanazt az
a számot, ordinátájához ugyanazt a
b számot adjuk, a feladat állítása nem változik, hiszen a három rácspont abszcisszájának és ordinátájának összege egyaránt egy-egy hárommal osztható számmal változik.
Megengedtük, hogy három pont egy egyenesen legyen, de ez azzal az előnnyel jár, hogy bármely pont bármelyik koordinátájához hozzáadhatunk egy hárommal osztható számot, az állításon ez semmit nem változtat. Így viszont elérhetjük, hogy minden pont minden koordinátája 0, 1 vagy -1 legyen - ám ekkor több pontnak is lehet azonos mindkét koordinátája.
Most tehát a következő állításhoz jutunk: ha adva van kilenc - nem feltétlenül különböző - számpár, amelyek mindkét koordinátája 0, 1 vagy -1, akkor kiválasztható közülük három úgy, hogy mind az első, mint a második koordinátáik összege osztható legyen hárommal.
Ezt fogjuk bebizonyítani. Ha valamelyik számpár háromszor szerepel, akkor e három számpár megfelel. Ha minden számpár legfeljebb kétszer szerepel, akkor biztos, hogy valamelyik számpár pontosan egyszer szerepel, hiszen páratlan sok számpárunk van. A fenti gondolatmenet szerint elérhető az is a feladat állításának csorbítása nélkül, hogy ez a számpár a
(0,0) számpár legyen, azaz az origó. Vegyük észre hogy az origó a következő számpárokkal megfelelő hármast alkot:
(0,1) és
(0,-1),
(1,0) és
(-1,0),
(1,1) és
(-1,-1),
(1,-1) és
(-1,1).
Ez azt jelenti, hogy mind a négy számpár-párból csak az egyik számpár szerepelhet. Ezek mindegyikének kell is szerepelnie, különben nincs kilenc számpárunk. (Az origóból csak egy van és egyfajta számpárból csak kettő lehet.)
Szimmetria okokból feltehető, hogy az első számpárból is, a második számpárból is az első szerepel. Ugyanis az 1 és a -1 szerepét koordinátánként felcserélhetjük, a feladat érvényességén ezzel nem változtatunk. Ha a
(0,1) és az
(1,0) számpár szerepel, akkor nem szerepelhet a
(-1,-1) számpár, tehát az
(1,1) számpár szerepel. Ha a negyedik számpár-párból az
(1,-1) szerepel, az az
(1,1) és
(1,0) számpárokkal alkot megfelelő hármast. Ha a
(-1,1) számpár szerepel, az az
(1,1) és
(0,1) számpárokkal alkot megfelelő hármast.
Ezzel a feladat állítását bebizonyítottuk.
A megoldásból világos az is, hogyan lehet nyolc rácspontot úgy kiválasztani, hogy semelyik három súlypontja ne legyen rácspont. Ilyen pontok például a
(0,0),(0,1),(1,0),(1,1),(3,3)(3,4),(4,3),(4,4) pontok.