Feladat: 11.12.
a) Adott
n darab (páronként különböző) valós szám. Képezzük az összes háromtagú összeget ebből az
n számból. Legalább hány különböző érték lesz közöttük?
b) Legalább hány különböző érték lesz
n (páronként különböző) szám
k tagú összegei között?
Megoldás: 11.12
a) Ha az adott számok nagyság szerinti sorrendben:
a1
<
a2
<…<
an
, akkor a következő összegek mind különbözők:
a1
+
a2
+
a3
<
a1
+
a2
+
a4
<…<
a1
+
a2
+
an-1
<
<
a1
+
a2
+
an
<
a1
+
a3
+
an
<…<
a1
+
an-2
+
an
<
a1
+
an-1
+
an
<
a2
+
an-1
+
an
<…<
an-2
+
an-1
+
an
.
|
Ez
3n-8 szám, s ennél több különböző érték számtani sorozatok esetében nem lép fel.
b) Ha a
k tagú összegeket vizsgáljuk, ugyanezt a gondolatot kell alkalmazni. Vagyis vennünk kell minden
j-re azokat az összeget, ahol az első
j tag a legkisebb
j szám, az utolsó
k-j-1 tag a legnagyobb
k-j-1 szám. Ezek mind különbözők (a fenti módon nagyság szerinti sorrendbe állíthatók) és számtani sorozatok esetében ennél több különböző összeg nem lép fel.