Feladat: 18.19.
A
-3-as számrendszert a következőképpen definiáljuk. A számjegyek a
0,1,2 számok. Az
n-edik helyen álló jegyet
(-3
)n-1
-gyel kell megszorozni, s az így kapott számokat kell összeadni. Tehát például az
121
‾
szám értéke
9-6+1=4.
Bizonyítsuk be, hogy a
-3-as alakú számrendszerben is egyértelmű az egész számok felírása: minden egész szám egyértelműen írható fel ilyen alakban.
Megoldás: 18.19
Először belátjuk, hogy a felírás, ha van, egyértelmű, azaz két formálisan különböző szám nem adhatja ugyanazt az értéket. Ha ugyanis egy szám kétféleképpen is felírható volna, akkor a két felírásban szereplő legmagasabb 3-hatvány kifejezhető volna kisebb háromhatványok 0, 1, vagy 2-szeresének előjeles összegeként. Azonban
2(1+3+
32
+…+
3i
+…+
3n-1)
)=
3n
-1<
3n
miatt ez lehetetlen.
A legnagyobb,
2n jeggyel felírható szám a
2+2·9+2·81+…+2·
9n-1
=(
9n
-1)/4, a legkisebb,
2n jeggyel felírható szám a
(-6)·(1+9+…+
9n-1
)=-3(
9n
-1)/4. E két szám között - őket is beleértve - pontosan
9n
szám van, annyi, ahány
2n-jegyű, formálisan különböző szám. Ebből és az egyértelműségből következik, hogy minden, az
In
=[-3(
9n
-1)/4,(
9n
-1)/4] intervallumba eső számot előállíthatunk. S mivel minden
k egész számhoz van olyan
n, amelyre
k az
In
intervallumban van, a feladat bizonyítását befejeztük.