Megoldás: 17.23
Azt állítjuk, hogy legalább három különböző távolságot határoznak meg.
Tegyük fel, hogy csak két távolságot határoznak meg. Legyen a hatpontú gráf hat csúcsa a hat pont, és az élek azok a pontpárok között futnak, amelyek közt a kisebbik távolság lép fel. Vagy ez a gráf, vagy a komplementere tartalmaz négy hosszú kört a
GR.II.3.18. feladat szerint. Ez a négy pont tehát egy rombuszt határoz meg. Két eset van: vagy a másik két átlója egyenlő hosszú, s akkor egy négyzetről van szó, vagy az egyik átlója egyenlő az oldallal, s ekkor egy
60∘
-os rombuszról van szó. Könnyen ellenőrízhető, hogy egyik alakzat sem egészíthető ki (már további egy ponttal sem!) úgy, hogy csak azok a távolságok lépjenek fel, amelyek ebben az alakzatban fellépnek.
A hat pont tehát meghatároz legalább három távolságot. A szabályos hatszög hat csúcsa, vagy a szabályos ötszög öt csúcsa és középpontja mutatja, hogy van olyan elrendezés, amikor a hat pont csak három távolságot határoz meg.